Résoudre une équation avec une division

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours Star en maths. Ici Romain. J’espère que tu vas bien.
Alors dans cette nouvelle vidéo nous allons expliquer ce qu’est une équation avec une division et surtout comment résoudre ce type d’équation que l’on rencontre beaucoup dans les exercices.
Je vais te présenter deux cas d’équation avec une division.
Le premier cas : équation avec une division égale zéro. Le deuxième cas : une division égale « pas zéro », donc un autre nombre.

Nous allons apprendre à résoudre ce type d’équation avec une division à l’aide du premier cas, c’est-à-dire une fraction égale 0.
Envisageons tout de suite le premier cas et, nous allons presque prendre un petit exemple. En fait je vais te demander d’imaginer un petit peu, comment tu peux avoir en mathématiques, une fraction qui est égale à 0 parce que c’est très important que tu te figures bien, comment une fraction en mathématiques peut être égale à 0.
Alors il faut aussi que tu te rappelles les petites règles en mathématiques. Quels sont les calculs que l’on peut faire en mathématiques et quels sont les calculs que l’on ne peut pas faire. ET rappelle-toi qu’il y a un lien avec les fractions justement.
Si je prends par exemple deux nombres, x et y et que je fais la division de x par y. Donc x/y. Et toi tu veux que cette fraction soit égale à 0. Alors à ton avis, à quelle valeur doit être égal x et à quel valeur doit être égal y ?
Pas forcément précisément mais essaie d’imaginer un petit peu à quelles valeurs peuvent être égales ces deux variables x et y.

A ton avis, est-ce que y peut être égal à 0 ? Et bien justement non parce que dans une fraction, en mathématiques, le dénominateur (parce que y ici c’est le dénominateur de notre fraction, c’est le nombre qui est en-dessous du trait de fraction) ne doit jamais être égal à 0. C’est très important ça, c’est valable tout le temps, dans toutes les mathématiques.
Un dénominateur ne doit jamais être égal à 0. Donc ici, y, peu importe combien il vaut mais dans tous les cas il doit être différent de 0. S’il est différent de 0, alors cette fraction est calculable. Mais si y=0, alors cette fraction n’est pas calculable.
Alors on a résolu le cas pour y. C’est-à-dire que y peut être égal à n’importe quelle valeur non nulle. Et maintenant, pour x, sachant qu’on veut quand même que cette fraction soit égale à 0. Alors, x il doit être égal à combien à ton avis ? Alors on va imaginer, y il peut être égal par exemple à 2.
Donc 2 au dénominateur et toi il faut que tu aies un nombre au-dessus pour que tout ça, ça fasse 0. A ton avis quelle valeur reste-t-il pour x ? Et bien en fait, 0 parce que si tu mets un autre nombre que 0 au numérateur, par exemple 1, et bien 1/2 ça ne fait pas 0. Si je mets par exemple -3 et bien ça va faire -3/2, ça ne fait pas 0.
Donc en fait, il faut absolument que x soit égal à 0.

Donc à partir de cette petite explication je pense que tu as compris qu’une fraction, pour être égale à 0, et bien première chose, elle doit être calculable. Et deuxième chose, et bien le numérateur doit être égal à 0. Tout simplement.
Donc si je prends le cas général : A/B=0 est équivalent à A=0. Donc là on imagine que cette fraction est calculable, c’est-à-dire que B est différent de 0. De toute façon un dénominateur, il faut toujours que ce soit différent de 0. Ce n’est même pas lié à l’équation si tu veux. Là, si tu oublies cette partie-là, si tu ne considères que la fraction, et bien A/B, ça n’existe que si B est différent de 0.
Revenons à notre cas, la règle générale : une fraction est égale à 0 si et seulement si le numérateur est égal à 0.
Donc la méthode qu’il va falloir employer pour résoudre ce type d’équation avec une division, donc ce premier cas, c’est-à-dire fraction=0, c’est la suivante : première chose, tu vérifies que le dénominateur est bien différent de 0. Non seulement tu dois vérifier que le dénominateur est bien différent de 0 mais il faut aussi le dire.
Quand tu as une équation, on va voir un petit exemple par la suite, il faut vraiment dire que le dénominateur est différent de 0 parce que tu peux avoir du x au dénominateur et comme ça, ça va te donner une condition sur x et ceci va te permettre d’avoir un ensemble de définition des solutions possibles de ton équation.
Je sais que ça peut te paraitre un petit peu compliqué dit comme ça, mais les x, quand tu as une fraction égale 0, ils ne peuvent pas se balader n’importe où du fait que tu as une fraction. On va voir un petit exemple après, tu vas voir, tu vas comprendre.
ET en fait, la deuxième étape de la résolution d’une telle équation, donc fraction=0, c’est tout simplement qu’il faut résoudre Numérateur=0. Tu résous cette équation-là. Et en fait tu oublies le dénominateur.

Donc on va prendre un exemple concret tout de suite. Donc en vert. Imaginons le cas suivant : (2x-1)/(3x-1)=0. On te demande de résoudre une telle équation, comment tu ferais ? Il ne faut surtout pas dire que 3x-1=0 et 2x-1=0. Non. Il faut juste dire, déjà dans un premier temps, on ne s’occupe pas des solutions mais il faut absolument que mon dénominateur, c’est-à-dire 3x-1 soit différent de 0.
Ça c’est toujours la première étape d’une résolution d’équation. C’est même normalement la première étape pour résoudre n’importe quelle équation en mathématiques, il faut toujours regarder l’ensemble de définition des solutions possibles. Ce ne sont pas les solutions mais c’est l’ensemble de définition des solutions possibles c’est-à-dire où peut se balader x, où peut être ton x.
Et là, ton x il y a un endroit où il ne peut pas être c’est quand 3x-1=0. Donc il faut absolument que tu aies 3x-1, le dénominateur, différent de 0. Et quand tu vas résoudre justement l’équation égale 0, ça va te donner la valeur interdite pour x, la valeur que x ne peut pas prendre. Donc là, 3x-1=0, tu vas plutôt résoudre l’équation, pas cette inéquation avec le « différent » mais tu vas vraiment résoudre 3x-1=0 ça te donne :
« Calcul mathématique »
Ça fait x=1/3 tout simplement. Ce 1/3, c’est la valeur interdite pour x. C’est-à-dire que x ne doit jamais être égal à 1/3. Parce que si x est égal à 1/3 cette fraction n’existe pas.

Maintenant, deuxième étape de la résolution de ton équation, et bien tout simplement, vu que tu as une fraction qui est égale à 0, il suffit de dire : mon numérateur, ici 2x-1, il vaut 0. Donc 2x-1=0. Et ça, ça te donne x=1/2.
Et ça, c’est vraiment la solution parce que quand x vaut 1/2, 2x-1 ça fait 2 fois 1/2, ça fait 1 moins 1 ça fait 0 au numérateur. Et 0 sur un truc qui n’est pas nul parce que 3*1/2 ça fait 3/2 et 3/2-1 ça fait 1/2.
Donc tu obtiens 0 sur quelque chose qui n’est pas nul donc ça fait 0 comme nombre. Donc c’est bel et bien 1/2 l’unique solution de ton équation.
Voilà comment résoudre ce type d’équation avec une division. Donc il faut toujours t’assurer que la fraction existe. Pour t’assurer de cela, il suffit de regarder et de dire que le dénominateur est différent de 0. C’est ce que nous avons fait ici dans la première étape.
Et deuxième étape tu dis : mon numérateur, vu que la fraction doit être égale à 0, mon numérateur doit être égal à 0. C’est tout. Tu comprends ?

Donc si tu as compris ça, tu as tout compris sur les équations avec division. Nous allons maintenant envisager un deuxième cas où tu as non plus fraction=0 mais où tu as un autre ombre. Donc des équations un petit peu plus complexe mais quand tu as compris comment résoudre ce genre d’équation et bien ça va assez vite.
J’en profite aussi pour te dire que cette fameuse première étape qui est ici de vérifier que le dénominateur est différent de 0, c’est normalement toujours la première étape à faire quand tu veux résoudre n’importe quelle équation.
Pour résoudre une équation, il faut d’abord vérifier que les expressions que tu as dans ton équation sont calculables. Et ici, l’expression qu’on a c’est une fraction. Et pour vérifier qu’une fraction est calculable, il faut toujours regarder si le dénominateur est différent de 0.
Donc en fait, je veux bien insister là-dessus, quand tu rencontres n’importe quelle équation avec une fraction, mais ça peut être aussi avec une racine carrée et si tu es en terminale avec un logarithme népérien, et bien il faut vérifier que tes expressions sont calculables.
Donc là, on a vu le cas pour une fraction mais si tu as un autre exemple avec une racine carrée, et bien il faut absolument vérifier que ce qu’il y a sous la racine carrée est supérieur ou égal à 0 parce que tu te souviens que la racine carrée d’un nombre n’existe que si le nombre est supérieur ou égal à 0.
Et si tu es en terminale S et si tu vois les logarithmes népériens, et bien le logarithme népérien d’un nombre n’existe que si le nombre est strictement positif.

Donc ça, ce sont des choses à toujours vérifier dans la première étape de la résolution d’une équation. Donc finalement, pour résoudre une équation il faut toujours respecter cette première étape et en fait, l’appliquer. C’est-à-dire, je répète, vérifier que les expressions que tu as dans ton équation sont calculables.
Ça, ça ne correspond pas vraiment à la résolution de l’équation mais c’est toujours une étape préalable qu’il faut réaliser parce que si tu ne la réalises pas, tu risques de tomber sur des absurdités à la fin.
Donc voilà, dès que tu as des expressions qui ne sont pas calculables tout le temps, donc en gros, c’est fractions, racines carrées et logarithmes népériens si tu es en terminale S, et bien il faut vraiment réaliser cette première étape.
Donc envisageons maintenant le deuxième cas, donc équation avec une division mais non plus égale 0 mais donc tu auras une fraction égale un nombre.

Résoudre une équation avec une division
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Équation avec une division (cas plus général)

Donc envisageons cet exemple d’une fraction qui est égal non pas à 0 mais à 3 par exemple. Donc (2x-1)/(3x-1)=3 et non pas 0.
Et il te faut résoudre cette équation. Comme je te disais précédemment, toujours la première étape qu’il faut vérifier c’est que les expressions que tu as dans ton équation, que tu as sous les yeux sont calculables.
Donc en fait, première étape, toujours tu vérifies, donc ici 3x-1 est différent de 0. Donc là je vais mettre : quand est-ce que ton expression est calculable ?
Donc pour une fraction, je répète bien, il faut vérifier que le dénominateur est différent de 0. Pour une racine carrée il faut vérifier que ce qu’il y a sous la racine carrée est supérieur ou égal à 0.
C’est ce genre de choses qu’il faut vérifier dans cette première étape : quand est-ce que ton expression est calculable. Voila, donc c’est toujours quelque chose à faire. Je sais bien que cette première étape on tend à l’oublier quand on résout une équation mais c’est normalement une question à toujours se poser.

Ensuite la deuxième étape, c’est la résolution de l’équation à proprement parler. Comment tu peux résoudre une telle équation ? Comment tu peux te ramener au premier cas ? Le premier cas que tu sais résoudre parce que tu te souviens, le premier cas, c’est fraction=0 et fraction=0, il n’y a pas de problème, tu sais résoudre.
Il suffit de dire que le numérateur est égal à 0. Et bien là comment te ramener au premier cas ? Il suffit de passer le 3 de l’autre coté. Regarde ce qui se passe quand je passe le 3 de l’autre coté. On va tomber sur une équation qui est équivalente, qui est la suivante : (2x-1)/(3x-1)-3=0. Il faut bien placer le moins au niveau du trait de fraction.
Donc là, tu n’as pas tout à fait une fraction égale 0 mais tu vas pouvoir transformer le membre de gauche en une fraction. En fait il te suffit de mettre 3 sur le même dénominateur que cette fraction, c’est-à-dire (3x-1) pour avoir une belle fraction ici à gauche.
Et quand tu auras la fraction ici à gauche, égale 0, et bien là, tu t’es ramené au premier cas, c’est-à-dire fraction=0 et bien il te suffit de dire : le numérateur obtenu est égal à 0. Le numérateur obtenu, ce n’est pas 2x-1 puisque là tu n’as pas encore une fraction.
Donc en fait, là il suffit juste de te ramener au cas fraction=0, au premier cas si tu veux qu’on a vu juste avant. Et puis là c’est fini parce qu’une fois que tu as ce genre d’équation : fraction=0 et bien tu sais résoudre ce genre d’équation en utilisant la méthode que je t’ai décrite dans le premier cas.

Donc là en fait, on a déjà commencé à se ramener à ce cas-là, donc on est dans la deuxième étape, donc il suffit de continuer ici en mettant au même dénominateur. Donc je vais continuer en-dessous : alors comment tu vas mettre 3 au même dénominateur que cette fraction ? Pour mettre un nombre au même dénominateur qu’une fraction il suffit de multiplier en haut et en bas, on dit aussi « haut et bas » par le dénominateur tout simplement.
Il suffit de multiplier 3, haut et bas par 3x-1. 3x-1 en haut sur 3x-1 en bas. Voilà. 3x-1 sur 3x-1, c’est un nombre sur lui-même donc c’est 1. Donc 3*1 c’est 3. Donc je n’ai rien changé au nombre 3. Tout ça, ça reste à gauche de l’égalité, tout ça, ça reste 3. Mais je l’ai multiplié en haut et en bas par 3x-1, justement pour faire apparaitre une fraction, pour transformer 3 en une fraction. Donc on continue :
« Calcul mathématique »
Tu as fait apparaitre ici une fraction avec le même dénominateur. Et deux fractions avec le même dénominateur, tu peux les soustraire, pas de problème. C’est justement pour ça qu’on l’a fait. C’est que quand tu as une soustraction et c’est ce qui va apparaitre quand tu veux te ramener à une fraction égale 0, quand tu as ce genre de cas-là. Il va apparaitre soit une soustraction, soit une somme, et bien il faut mettre les fractions au même dénominateur, ce qui va te permettre d’obtenir une seule et belle fraction, et le tout égal 0.
Donc là on va obtenir =0. ET donc on va obtenir, on va développer :
« Calcul mathématique »

Donc là tu t’es bel et bien ramené à notre cas : fraction=0. Et en fait, il faut simplifier un petit peu le numérateur, tu regroupes les x et les constantes ensembles, ça va donner :
« Calcul mathématique »
Donc à partir de ce moment-là, ça y est on a presque fini puisqu’on s’est ramené au cas fraction=0. On a terminé la deuxième étape de cette petite méthode pour résoudre ce genre d’équations.
Donc ça maintenant tu sais résoudre en utilisant la première méthode, la méthode du premier cas.

Dans un premier temps il faut vérifier que cette expression est calculable, elle est calculable quand le dénominateur est différent de 0 c’est-à-dire quand x est différent de 1/3. Donc ça c’est vraiment la condition que ça te donne. Dans tout cet exercice x doit être différent de 1/3. Autrement dit, 1/3 c’est la valeur interdite dans cette équation.
Et ensuite, pour résoudre vraiment cette équation, tu te souviens, c’est la deuxième étape du cas numéro 1, il suffit de dire numérateur égal zéro. Ici, -7x+2=0.
-7x+2=0 c’est une petite équation que tu sais parfaitement résoudre :
« Calcul mathématique »
Et il te reste x=2/7. Voilà donc la solution de ton équation, c’est tout simplement S=2/7. Et tu vérifies bien, c’est la petite chose à vérifier à la fin, que ce n’est pas égal à la valeur interdite, que ce n’est donc pas égal à 1/3 ici. Et donc 2/7 n’est évidemment pas égal à 1/3.
Essaie toujours de simplifier tes résultats : 2/7, c’est une fraction qui est irréductible, on ne peut pas la simplifier donc c’est parfait.

Voilà, j’espère que tu as bien compris comment résoudre ce type d’équation avec une division. Le premier cas : fraction=0. C’est vraiment le cas principal en fait, le cas fondamental à comprendre.
Et dès que tu as une fraction ensuite, tu peux toujours te ramener à fraction=0. Il suffit de passer tout ce que tu as à droite, donc ici le 3, à gauche et de transformer tout ce que tu as à gauche en une fraction. C’est ce qu’on a fait ici en mettant au même dénominateur.
Donc en fait, il ne faut surtout pas se tromper dans les calculs mais le but de cette vidéo c’était de te faire comprendre la méthode pour résoudre ce type d’équation.
Voilà, j’espère que tu reconnaitras ce type d’équation, que tu connaîtras la méthode pour la résoudre et je te dis à la prochaine dans une prochaine vidéo.