Résoudre une équation Produit

Bonjour à toi et bienvenu dans ce cours Star en maths. Ici Romain.
Alors dans cette vidéo, je vais te présenter ce qu’est l’équation produit et je vais surtout te montrer comment résoudre ce type d’équation particulier très rapidement parce que c’est un type d’équation que l’on rencontre très souvent dans les exercices : les équations produit.
Alors qu’est-ce qu’on rencontre dans ce titre ? Une équation déjà. Alors une équation tu sais ce que c’est j’imagine. Une équation c’est une égalité dans laquelle tu as une ou plusieurs inconnues qu’il faut trouver.
Quand on dit résoudre une équation, on veut trouver les inconnues. Et une équation produit, qu’est-ce que c’est? Et bien produit, c’est tout simplement une multiplication. Tu sais qu’un produit du nombre 2 et du nombre 4 c’est tout simplement 2 fois 4.
Donc une équation produit, c’est une équation dans laquelle tu vas trouver tout simplement un produit. Plus particulièrement tu vas trouver un produit égal zéro. On appelle aussi ce genre d’équation, équation produit nul pour préciser qu’on a un produit égal à zéro.

Alors je vais tout de suite te donner un exemple. Qu’est-ce que c’est qu’une équation produit nul.
Par exemple : (2x-1)(3x+4)=0. Ça c’est une équation produit nul. Nul ça veut dire égal 0 en mathématiques, je pense que tu es d’accord avec moi.
Alors (2x-1)(3x+4)=0 comment tu résoudrais ce type d’équation ? En fait, on va utiliser la bonne vieille règle de collège que je vais t’expliquer dans cette vidéo, qui est la suivante :
Un produit de facteurs égal 0 si et seulement si, l’un au moins des facteurs égal 0. En fait, ça veut dire quoi quand on applique cette règle concrètement à notre cas ici ?
Et bien ça veut dire : ceci est équivalent (le signe équivalent ça veut dire que tu transformes cette équation en une équation qui est équivalente, qui n’est pas exactement la même mais qui signifie la même chose) à : (2x-1)=0 ou (3x+4)=0
C’est une règle que tu as vu au collège, je la répète : un produit de facteurs est égal à 0 si et seulement si l’un des facteurs, au moins, égal 0.
Donc ça c’est vraiment une règle qu’il faut connaitre et qui te permet de résoudre les équations produit. On n’a pas tout à fait fini la résolution de notre équation mais on a bien avancé parce que plutôt que de développer ce produit, ce que tu aurais peut-être eu l’idée de faire, je t’encourage à utiliser cette règle et à procéder comme ça.

Donc là, 2x-1=0, tu peux le résoudre facilement ou 3x+4=0, ça aussi tu peux le résoudre facilement. On peut le faire rapidement :
« Calcul mathématique »
Et là tu obtiens x=1/2 et x=-4/3, et là tu obtiens tes deux solutions de ton équation. Donc à la fin tu mettrais S={-4/3;1/2}. Tu les ranges de préférence dans l’ordre croissant. Ce sont les deux seules solutions de ton équation produit initiale.

Donc voilà, je t’ai tout simplement montré comment résoudre une équation produit à l’aide de ce petit exemple ici.
Donc retiens bien qu’une équation produit, c’est une équation de cette forme-là : A*B=0. Et ce genre d’équation, généralement tu peux avancer dans la résolution assez facilement en utilisant la règle que je t’ai exprimée et que je vais maintenant exprimer mathématiquement.
A*B=0, et bien quand tu as un produit de facteurs égal 0, qu’est-ce que ça veut dire forcément ? Et bien ça veut dire que soit A vaut 0, soit B vaut 0, soit les deux en même temps, A et B valent 0.
Donc en fait tu as trois cas possibles, qui sont exprimés en français de la façon suivante comme je le disais tout à l’heure : l’un au moins des facteurs égal 0. Soit A égal 0, soit B égal 0, soit les deux en même temps.
Donc ça, ça signifie (quand je dis ça signifie, tu peux mettre le signe équivalent en mathématiques, ce signe qui signifie « ça signifie » en français) A=0 ou B=0. Et à partir de ces deux sous-équations et bien tu peux encore avancer dans la résolution d’équation et tu peux trouver les solutions
C’est ce qu’on a fait ici dans notre cas en vert.

Donc voilà ce que c’est qu’une équation produit. Donc bien sûr c’est une équation particulière puisque toutes les équations ne se mettent pas sous cette forme-là. Il n’y a pas toujours un produit ici à gauche, il aurait pu être à droite.
Mais quand tu n’as pas de produit, c’est vraiment une idée, d’essayer de transformer ce que tu as en produit et d’avoir 0 de l’autre côté. Avoir un côté qui vaut 0 et l’autre un produit. Et quand tu es dans ce cas-là tu as bel et bien une équation produit et tu peux utiliser cette règle ici en rouge.
Donc ce que je vais faire, c’est rapidement te donner un exemple dans lequel tu as une équation égal 0 et tu n’as pas de produit ici à gauche et en fait on va transformer très rapidement la chose en un produit.
C’est quelque chose que tu ne peux pas toujours faire mais quand tu veux résoudre une équation, c’est quelque chose que tu peux essayer de faire. C’est une piste que tu peux essayer d’employer.
Tu sais bien qu’en mathématiques, parfois on emploie des pistes et ça ne marche pas toujours mais il faut quand même essayer parce que la piste peut te mener à la solution.

Donc imaginons que tu aies l’équation suivante :(2x-1)(3x-1)+(2x-1)*7x=0. Et toi, tu souhaites résoudre cette équation.
La première idée qui te viendrait à l’esprit ce serait peut-être de développer tout ça pour voir un peu comment ça se simplifie sauf que tu vas tomber sur une équation du second degré et ce n’est pas toujours évident à résoudre.
Il y a une piste plus simple ici à exploiter, c’est d’essayer de transformer ce membre de gauche en un produit.
Alors bien sûr ce n’est pas toujours possible de transformer une équation en une équation produit comme on va le faire ici mais quand tu peux le faire, il faut quand même le faire et ça va te permettre d’avancer dans la résolution de l’équation.
Et pour savoir si tu peux le faire ou pas, et bien il faut tenter, il faut que tu essaies. Tu vois une équation, il n’y a pas toujours une méthode bien précise pour la résoudre. Il faut que tu emploies plusieurs techniques et voir laquelle te permet de résoudre l’équation. Il faut que tu essaies des choses, que tu testes.

Donc là c’est ce qu’on fait, on teste, on essaie de transformer ça en un produit.
Et là, c’est assez facile de factoriser, c’est un petit peu l’opération clé. C’est facile de factoriser ce membre de gauche parce qu’effectivement ici à gauche tu as une somme. Ce n’est pas un produit, sinon on n’aurait pas eu d’opération à faire, on aurait tout de suite utilisé cette règle ici en bas en rouge.
En fait tu as une somme, pas un produit donc tu ne peux pas utiliser cette règle. Et vu que tu as une somme, et bien on va essayer de la factoriser. C’est ce qu’on va faire. Tu peux factoriser par 2x-1 qui est l’élément commun entre les deux termes.
Le premier terme c’est (2x-1)(3x-1) et le deuxième c’est(2x-1)*7x. Ça ce sont les deux termes. Je te rappelle que facteurs ce sont les éléments dans un produit et termes ce sont les éléments dans un somme ou une différence. Donc ces deux choses là ce sont des termes.

Donc là, tu factorises, c’est parti :
« Calcul mathématique »
Voilà. Donc si tu ne sais pas factoriser, tu trouveras d’autres vidéos qui expliquent en détail comment factoriser sur Star en maths.tv. J’explique vraiment cette opération cruciale dans d’autres vidéos.
Ça c’est une technique pour factoriser et parfois tu verras d’autres façons de factoriser notamment en utilisant les identités remarquables que je te recommande vivement de bien connaitre.
Et donc là on a transformé notre membre ici de gauche en un produit. IL ne faut pas oublier bien sûr le =0. Il ne faut jamais oublier le égal quelque chose dans une équation quand tu la réécris. Et donc tu obtiens : (2x-1)(10x-1)=0
Tu aurais pu mettre le signe équivalent entre ces différentes équations. Ici j’ai juste sauté une ligne. Ça dépend de la classe dans laquelle tu es.
EN seconde généralement on saute plutôt une ligne et quand tu avances en première ou terminale on met généralement le signe équivalent parce qu’on suppose que tu as compris ce que ça veut dire. C’est un signe assez simple à comprendre, c’est juste qu’on a transformé l’équation en une équation qui n’est pas la même mais qui signifie la même chose. C’est la même équation mais qui est transformée, qui a les mêmes solutions au final.

Donc une fois que tu as ça, tu as vraiment un produit de facteurs égal 0 et là on utilise la bonne vieille règle en rouge : A*B=0 ça signifie soit A=0 soit B=0
Donc là ça signifie : soit 2x-1=0 auquel cas x=1/2, c’est ce qu’on avait trouvé tout à l’heure tu te souviens.
Soit, deuxième possibilité : 10x-1=0. Je mets bien « ou » et tu peux mettre l’accolade ici. ET ça, quand tu passes le -1 de l’autre côté tu obtiens 10x=1, donc x=1/10.
ET voilà les deux solutions de ton équation 1/2 et 1/10. Tu terminerais bien la rédaction de cet exercice en mettant : S={1/2;1/10}

Voilà comment on résout une équation produit. J’ai vraiment voulu te montrer ce que c’était avant tout une équation produit et surtout comment la résoudre.
Donc cette bonne vieille règle de collège en rouge, on dit en français comme ceci : un produit de facteurs égal zéro si et seulement si, l’un au moins des facteurs égal zéro.
ET mathématiquement ça veut dire : A*B=0 ça veut dire soit A vaut 0 soit B vaut 0. ET ça c’est une petite règle qu’on utilise extrêmement souvent dans les exercices quand tu as une équation produit justement.
Quand tu n’as pas une équation produit, une des techniques que tu peux essayer de tester pour résoudre ton équation, c’est justement de transformer l’un des membres en un produit, si l’autre membre c’est 0. Et transformer quelque chose en un produit, ça veut dire factoriser justement.
Tu connais plusieurs techniques pour factoriser. Là on en a illustré une mais il y en a d’autres, comme je te disais tout à l’heure, qui utilisent les identités remarquables.

Voilà pour cette équation produit. J’espère que tu pourras la reconnaitre dans les exercices et surtout ne pas développer quand tu en as une sous les yeux.
Il ne faut pas avoir le reflexe forcément de développer quand tu as un produit de facteurs. Il faut essayer de résoudre ton équation en utilisant cette règle