Résoudre une inéquation du second degré à l’aide d’une factorisation et d’un tableau de signe
Comment résoudre une inéquation du second degré par le calcul ?
Bonjour à toi et bienvenue dans cette vidéo star-en-maths. J’espère que tu vas bien.
Dans cet exercice, nous allons faire quelque chose d’assez fréquent en mathématiques : nous allons résoudre une inéquation.
Si tu es en seconde je pense que cet exercice te conviendra tout particulièrement puisque là on a une inéquation qui comporte un polynôme du second degré.
Je vais lire l’exercice : on a une fonction h(x)=4x²-2x+3 : c’est ce qu’on appelle une fonction polynôme du second degré, une fonction carrée ou encore un trinôme, peut-être que tu as entendu ces termes-là.
Et il va falloir résoudre par le calcul h(x) inférieur ou égal à 3. C’est ce qu’on appelle une inéquation et il va falloir qu’on trouve les inconnues x qui satisfont cette inéquation. C’est notre but dans cet exercice. C’est ça que ça veut dire résoudre une inéquation.
Donc, comment va-t-on faire ? Donc déjà, si tu n’es pas familiarisé avec ce genre d’inéquation comportant une fonction, je t’encourage à aller voir d’autres vidéos que j’ai faites sur le sujet où il s’agit juste déjà dans un premier temps de remplacer h(x) par la définition de sa fonction en fait. C’est-à-dire qu’on va remplacer h(x) par 4x²-2x+3 et on va se retrouver devant l’inéquation suivante : 4x²-2x+3 inférieur ou égal à 3. On a remplacé h(x) par ce qu’il vaut, ce qu’on a tout à fait le droit de faire.
Donc maintenant, une fois qu’on est face à cette inéquation, comment faire pour résoudre ce genre de chose ? Alors pour les inéquations « simples », où il n’y a pas de carré, généralement on essaie d’isoler le x tout seul d’un côté. C’est ce qu’on fait aussi un petit peu pour les équations. Mais là, ça ne va pas être évident parce que tu vois, tu as un x qui apparait sous deux formes différentes : tu as un x² qui n’est pas la même chose qu’un x tout seul. Donc quand tu vas essayer d’avoir un x tout seul d’un côté et bien tu ne vas pas vraiment réussir en fait.
Donc là on va adopter une technique de résolution différente. Déjà, on va essayer de se débarrasser du 3 parce que je pense que tu le vois aussi : si tu passes le +3 de l’autre côté c’est-à-dire à droite, tu peux t’en débarrasser parce que tu vas obtenir 0 ici à droite.
Souviens-toi, quand tu veux passer un nombre de l’autre côté dans une équation ou une inéquation et bien il faut faire une opération des deux côtés. L’opération qu’on fait ici c’est -3. Quand tu fais -3 à gauche et à droite, ça va te permettre de te débarrasser du +3 à gauche et tu vas obtenir : 4x²-2x+3-3 et les 3 vont s’annuler : +3-3 ça fait 0. Il va juste te rester : 4x²-2x inférieur ou égal à 3-3 et 3-3 ça fait 0. Tu vois, ça nous a permis de passer le -3, il est devenu +3 de l’autre côté et ça fait 3-3, donc ça fait 0 ici.
Donc, en fait, ceci nous permet de nous débarrasser des 3 de chaque côté et la règle qu’on a utilisée, c’est qu’on a soustrait un nombre, ici 3, des deux côtés. Et ça, ça ne change pas le sens de l’inégalité. Souviens-toi des petites règles pour transformer une inégalité : quand tu ajoutes ou soustrait un même nombre des deux côtés, ça ne change pas le sens. Par contre quand tu multiplies ou que tu divises par un nombre négatif, ça change le sens. Et par contre quand tu multiplies ou divises par un nombre positif, ça ne change pas le sens.
Voilà les différentes règles à connaitre et qui sont importantes pour transformer une inégalité.
Donc là on arrive à notre nouvelle inégalité et là, je te disais, ce n’est pas évident d’isoler le x. Tu pourrais passer le -2x de l’autre côté, mais ça ne te permettrait pas vraiment d’obtenir un x tout seul d’un côté parce que tu aurais 4x² ici à gauche et tu aurais 2x de l’autre côté.
Donc là, ce qu’on va faire, c’est qu’on va essayer de factoriser. On va factoriser notre expression ici à gauche par x parce que tu vois bien qu’on a un élément commun. Entre 4x² et 2x, il y a x en commun, il y même 2x, on peut même aller plus loin. Donc plutôt que de factoriser par x, on va factoriser par 2x.
Et une fois qu’on aura factorisé, on aura ici à gauche un produit de facteurs inférieur ou égal à 0. Donc c’est parti, on factorise par 2x. Par combien il faut multiplier 2x pour obtenir 4x² ? Et bien par 2x. C’est lui-même en fait. 2x*2x ça fait bien 4x². Et ensuite, par combien il faut multiplier 2x pour obtenir -2x ? Et bien par -1. On a donc : 2x(2x-1) inférieur ou égal à 0.
Si tu n’as pas l’habitude encore des factorisations, il faut t’entrainer un peu là-dessus. C’est assez important la factorisation en mathématiques, j’ai fait plein de vidéos là-dessus, donc n’hésite pas à aller les voir. Et pour vérifier une factorisation, n’hésite jamais à redévelopper. Tu vois, tu peux redévelopper en faisant des petites flèches : tu fais 2x*2x et après 2x*(-1). 2x*2x on retombe bien sur 4x² et 2x*(-1) tu retombes bien sur -2x. Donc quand tu redéveloppes, tu retombes bien là-dessus.
Une fois que tu as factorisé ton expression, ici on a le premier facteur qui est 2x, le deuxième facteur qui est égal à 2x-1 et tout ceci doit être inférieur ou égal à 0. ET le but pour nous c’est de trouver les x qui correspondent.
Et bien quand tu es face à ce type d’inéquation, tu peux te ramener à un autre problème qui est en fait un problème de tableau de signe. Ce qu’on va faire, c’est dresser le tableau de signe de cette expression ici à gauche. On va essayer d’obtenir le signe en général de cette expression ici à gauche. Expression qui ne comporte pas de valeur interdite, donc ça va être son signe pour x variant de -l’infini à +l’infini.
ET une fois qu’on aura son signe, on regardera dans la ligne finale quand est-ce que c’est inférieur ou égal à 0, c’est-à-dire quand est-ce que c’est « moins » et là on pourra obtenir les x solution.
Comment dresser le tableau de signe de ça ? Donc là, il faut faire ton tableau de signe. On va mettre une première ligne, c’est la ligne des x. Les x varient de -l’infini à +l’infini dans cet exercice. Il n’y a pas de valeur interdite, il n’y a pas d’autre ensemble de définition donc c’est vraiment R en fait.
Et on va mettre dans le tableau de signe « 2x », c’est le premier facteur. Et on va mettre le deuxième facteur, c’est-à-dire 2x-1. Et dans la dernière ligne on va mettre notre expression totale c’est-à-dire 2x(2x-1). Et maintenant, le but, c’est d’obtenir le signe de chacune de ces lignes.
Quel est le signe de 2x ? Bon le signe de 2x, tu es d’accord que ça varie, ce n’est pas tout le temps le même signe. Si tu prends x par exemple qui vaut -3 (tu vois, x ça varie de -l’infini à +l’infini d’après la première ligne ici) combien vaut 2x ? Et bien ça vaut -6 et -6 c’est négatif. Et si tu prends x qui vaut 10, et bien 2x ça vaut 2*10, ça vaut 20 et 20 c’est positif. Donc tu vois bien que 2x change de signe.
En fait, comment obtenir le signe de ce genre de fonction : 2x et 2x-1 ? Et bien en fait, ce sont des fonctions qu’on appelle « affines » et 2x c’est même une fonction linéaire. Et pour obtenir le signe de ce genre de fonction – c’est très important, c’est quelque chose de très utile pour les tableaux de signe justement – et bien il faut juste connaitre des petites choses sur les fonctions affines : c’est qu’une fonction affine, elle change toujours de signe et c’est moins et plus OU plus et moins.
Et il faut savoir aussi quand est-ce que ça change de signe. C’est-à-dire qu’il y a une valeur charnière de x pour laquelle x va changer de signe. Et en fait, x ça change de signe quand x vaut 0 parce que quand x vaut 0, et bien 2x va passer de moins à plus. Tu vois ici on va mettre le 0, quand x vaut 0 tu es d’accord que 2*0. Et ensuite tu es d’accord que pour toutes les valeurs de x qu’on a ici entre -l’infini et 0, et bien 2 fois ce x là, ce sera négatif puisque les valeurs entre -l’infini et 0 sont négatives, donc 2 fois quelque chose de négatif, ça fait quelque chose de négatif.
Et ensuite ce sera plus parce que toutes les valeurs entre 0 et +l’infini sont positives. Donc deux fois quelque chose de positif, ça donne quelque chose de positif.
Donc ensuite, quel est le signe de 2x-1? La on a réussi à avoir le signe du premier facteur, il nous reste à avoir le signe du deuxième facteur. Et bien là, il faut déjà résoudre la petite équation 2x-1=0 pour avoir la valeur charnière de x, la valeur pour laquelle 2x-1=0.
ET donc 2x-1=0, on passe le -1 de l’autre côté, ça va nous donner 2x=1 et ensuite x=1/2 en passant le 2 ici à droite, en divisant à gauche et à droite par 2. Et si tu remplaces x par 1/2 ça fait 2*(1/2)-1, 2*1/2 ça fait 1 et 1-1=0. Tu es bien d’accord que quand tu remplaces x par 1/2, et bien cette chose-là fait 0.
Donc on place 1/2 ici à droite de 0 évidemment parce que là les nombres sont rangés dans l’ordre croissant sur cette première ligne. Et là on met la barre verticale et on met le 0 ici.
Et maintenant comment fait-on pour placer les signes ? Et bien en fait il faut juste se référer à ce que je te disais pour 2x, il faut juste se référer au coefficient directeur. Le coefficient directeur, c’est 2. C’est le même que pour 2x. Donc la fonction affine elle est croissante, ça veut dire qu’elle va monter. Ça va être une droite, quand tu traces la courbe de 2x-1, ça va être une droite qui monte. Et on avait vu qu’elle s’annulait pour x=1/2. Donc on peut le faire apparaitre : on met l’axe des abscisses ici et là on peut mettre 1/2. Et le y est là. Là tu as 0 et là t’as le y.
Voilà, donc ça c’est y=2x-1. Tu vois, je t’ai fait le petit dessin de la courbe 2x-1. Et donc quand est-ce que c’est positif ? Et bien quand la droite, ici, est au-dessus de l’axe des abscisses, c’est-à-dire sur cette portion-là etc. Donc quand x est supérieur à 1/2. Donc là, c’est +. Et quand est-ce que c’est négatif ? Et bien quand la droite bleue est en-dessous de l’axe des abscisses, c’est-à-dire sur toute cette portion-là. Et quand x vaut 1/2 ça vaut 0. Donc ici, c’est -.
Donc là on a réussi à obtenir le signe de notre fonction affine. C’est toujours comme ça que je t’invite à procéder pour avoir le signe d’une fonction affine, c’est-à-dire de type ax+b.
C’est quelque chose que tu utiliseras jusqu’en terminale S et même jusqu’au BAC. Donc si c’est quelque chose que tu arrives à comprendre, pour obtenir le signe d’une fonction affine, et bien c’est vraiment génial, c’est quelque chose qui va te servir très souvent pour les tableaux de signe.
Je ne l’ai pas vraiment fait pour 2x, parce que pour 2x c’est vraiment tout simple. Je peux le faire juste au-dessus si tu veux, c’est une fonction dont la courbe ressemble à ça : hop, l’axe des y, l’axe des x. 2x c’est une fonction linéaire donc sa droite passe par l’origine. Elle s’annule pour 0.
Et donc la portion pour laquelle c’est positif, c’est-à-dire que la droite est au-dessus de l’axe des abscisses, et bien c’est cette portion-là, c’est ]0;+l’infini[, c’est ce qu’on avait mis ici. Je peux même reporter le + bleu ici. Et la portion sur laquelle 2x est négative, c’est tout les nombres x négatifs. C’est ce qu’on avait mis ici. Ça correspond au – bleu, là. Ça, c’est 2x.
Et ça y est, on a obtenu le signe de nos deux facteurs, 2x et 2x-1, donc on peut connaitre le signe de notre produit de facteurs. C’est ça l’intérêt d’avoir factorisé : c’est que dès que tu connais le signe des deux facteurs, et bien tu peux connaitre le signe du produit des deux facteurs.
Moins fois moins, un nombre négatif fois un nombre négatif, si je prends -5*-3 et bien ça fait 15, un nombre positif. Donc j’obtiens +. Là j’obtiens 0 parce que si 2x vaut 0, 0 fois quelque chose, ça fait 0. Donc là tu obtiens 0. Maintenant plus fois moins, ça fait moins. Tu vois c’est des petites règles sur les signes, je pense que tu les connais. Et ensuite, 2x*0, ça fait 0. ET enfin, plus fois plus, c’est-à-dire un nombre positif fois un autre nombre positif, ça te donne toujours un nombre positif à la fin.
Voilà, donc on a obtenu le signe de notre expression ici, que je vais encadrer en rouge. On a obtenu son signe total, ici dans la dernière ligne du tableau de signe.
Mais nous, ce qu’on voulait, ce n’est pas tout à fait son signe total. On voulait savoir quand est-ce que c’était négatif. Tu vois ? Quand est-ce que c’est inférieur à 0. Et bien c’est inférieur à 0 quand x se balade entre 0 et 1/2. Et c’est inférieur ou égal à 0. Donc ton 2x(2x-1) a le droit d’être égal à 0 donc il faut inclure le 0 et le 1/2 : [0;1/2].
Tu vois, quand x se balade entre 0 et 1/2 (x peut valoir 0, 0,01, 0,04 jusqu’à 0,5 puisque 1/2 c’est 0,5) et bien 2x(2x-1) sera négatif. Donc les solutions, les solutions x, rappelle-toi qu’on cherche toujours les x, c’est S=[0;1/2]. Voilà les solutions de ton inéquation.
Donc j’espère que tu as bien compris comment on a procédé pour résoudre cette inéquation. Donc déjà on a obtenu un 0 ici à droite de notre inférieur ou égal, pour se ramener en fait à un problème d’étude de signe parce que dès que tu as un inférieur ou égal à 0, ça revient à dire quand est-ce que 4x²-2x (ou 2x(2x-1), c’est la même chose) est négatif.
ET ça, pour le savoir on a dressé le tableau de signe de cette expression en la factorisant. Donc comment on a dressé le tableau de signe ? En obtenant le signe du premier facteur puis le signe du deuxième, et à la fin, on regarde dans la dernière ligne quand est-ce que c’est négatif.
Voilà la démarche pour résoudre ce type d’inéquation un petit peu plus complexe qu’on appelle inéquation du second degré. Quand tu vois ce genre de chose, on appelle ça une inéquation du second degré parce qu’ici tu as ce qu’on appelle un polynôme du second degré. En seconde on appelle ça parfois fonction carrée ou encore trinôme.
Voilà donc pour cet exercice.
