Résoudre une inéquation du second degré
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On transforme le problème en une étude de signe
Comment résoudre une inéquation du second degré de façon astucieuse ?
Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui, nous allons résoudre l’inéquation suivante, d’inconnue a, que j’ai notée en vert : 9a²-3a+1/4 inférieur ou égal à 0.
Alors je te rappelle que résoudre une inéquation, ça veut dire trouver les valeurs de a, peut-être qu’il n’y en a qu’une, peut-être qu’il y en a plusieurs, peut-être qu’il n’y en a aucune, c’est trouver les valeurs de a de façon à ce que cette inéquation soit vérifiée.
Par exemple, on peut essayer, est-ce que a=1 est une solution ? Donc est-ce que 1 est solution ? Et bien on n’a qu’à remplacer a par 1, très rapidement, pour exemple, pour voir si 1 est solution.
9a² ça fait 9 puisque 1² ça fait 1. -3*1 ça fait -3. Donc 9-3+1/4 ça fait 6+1/4, en tout cas c’est supérieur à 0 comme nombre, donc ça ne peut pas être inférieur ou égal à 0. Donc le nombre 1 n’est pas solution de cette inéquation. Bon, ça c’était juste un exemple.
Alors maintenant, la question, c’est comment on va résoudre cette inéquation. Alors d’habitude, tu sais résoudre des inéquations du premier degré. Et qu’est-ce que j’entends par premier degré ? C’est quand il n’y a pas de carré au dessus de l’inconnue. Or ici, il y a un carré au dessus du a.
Donc ça ne va pas être évident de résoudre de façon classique, c’est-à-dire d’essayer d’isoler ton inconnue a à gauche ou à droite de cette inéquation donc tu ne vas pas pouvoir essayer par une succession de petits calculs d’isoler l’inconnues a d’un côté de l’inéquation. Par exemple en essayant de la laisser ici à gauche. Tu ne vas pouvoir obtenir à la fin, a inférieur ou égal à un nombre, ou a supérieur à un autre nombre.
Pourquoi tu ne vas pas réussir à faire ça ? Tout simplement parce qu’il y a un carré ici. Tu ne vas pas pouvoir « regrouper » ton a² et ton a. Donc ça, ça ne va pas être une bonne façon de faire pour résoudre ton inéquation ici du second degré. Pourquoi dit-on que c’est une inéquation du second degré ? Et bien parce qu’ici, tu as un polynôme du second degré. Ceci, c’est un polynôme du second degré.
Il ne faut pas te laisser embêter par cette inconnue a ici, c’est ce qu’on recherche, d’habitude elle est notée x. Ici je l’ai notée a mais on pourrait tout aussi bien la noter x.
Donc ici on a un polynôme du second degré. Et tu sais qu’on a un polynôme du second degré qu’il faut comparer à 0. Il faut trouver quand est-ce que ce polynôme du second degré est négatif ou égal à 0, parce qu’ici on a inférieur ou égal.
Alors en fait, tu vas pouvoir transformer un petit peu ce problème, cet exercice en la question suivante, plutôt que de résoudre cette inéquation du second degré, tu vas chercher le signe de ce polynôme du second degré. Et quand le signe sera négatif, justement sur ces intervalles, ces ensembles de a où le polynôme sera négatif, tu auras ce polynôme inférieur ou égal à 0. ET donc cet ensemble de a sera ton ensemble des solutions de ton inéquation.
Voilà, donc en fait on transforme tout ce problème-là en une étude du signe du polynôme. Alors le problème maintenant, c’est comment on va étudier le signe de ce polynôme parce que ce n’est pas non plus gagné, on ne va pas pouvoir trouver le signe d’une somme de trois termes (tu vois que tu as trois termes qui sont 9a², 3a et 1/4). Une somme de trois termes, ce n’est pas évident d’en étudier le signe.
Alors si tu es en première S tu as surement vu un moyen de factoriser un polynôme du second degré quand tu connais ses racines réelles s’il en a. Alors si tu arrives à trouver ces racines réelles, tu pourras factoriser ce polynôme en utilisant ses deux racines réelles.
Et tu sais qu’étudier le signe de quelque chose sous forme factoriser (donc quelque chose fois quelque chose), c’est plus simple que d’étudier le signe d’une somme de termes comme ici parce qu’il te suffit d’étudier le signe du premier facteur, celui du second facteur et le signe de la multiplication de ces deux facteurs (- par + ça fait -, + par + ça fait + etc. tu connais ces petites règles sur les signes)
Alors maintenant, si tu es en seconde, c’est un petit peu moins évident, en fait il faut essayer de factoriser toi-même ce polynôme, sans connaitre les outils que tu connaitras en première. Comment factoriser un tel polynôme ? Dans une autre vidéo, je t’ai montré une technique permettant de factoriser un polynôme du second degré. Et donc cette technique, lorsque tu as les termes de ton polynôme qui sont ordonnés (d’abord les a², ensuite les a et enfin les constantes, à la fin) et bien elle permet de factoriser les deux premiers termes en utilisant l’identité remarquable (a-b)² ou (a+b)²
Donc ici on va utiliser (a-b)². Peut-être que ça ne te parait pas évident mais dans une autre vidéo je t’ai expliqué comment, étape par étape, faire ceci. Ici on va aller un petit peu plus vite. Cette identité remarquable, sa forme développée c’est : a²+b²-2ab. Pourquoi on utilise (a-b)² plutôt que (a+b)² ? Parce qu’ici on a un moins mais tu pourrais tout aussi bien mettre à la place de -3a +(-3a) et tu pourrais utiliser l’identité remarquable (a+b)² si tu es plus à l’aise avec cette identité remarquable-là.
Maintenant, ce qu’on va faire, c’est qu’on va identifier ces deux premiers termes avec ceux-là. En fait, il va falloir trouver le a et le b de telle façon à ce que a²-2ab égal 9a²-3a en bleu. Attention, le a en bleu et le a en noir ne sont pas forcément les mêmes. Alors comment on va trouver notre a et notre b noirs ?
Regarde, on cherche à identifier 9a²-3a. Quand je dis identifier ça veut dire trouver le a noir et le b noir de telle façon à ce que ce soit égal, les deux choses. Donc de telle façon à ce qu’on ait a²-2ab (noir) qui soit égal à cette expression en bleu.
Et bien c’est assez simple, il faut qu’on ait une égalité ici, donc tu choisis ton a noir de façon à ce que quand il soit au carré ce soit 9a² bleu. Donc il suffit de choisir a(noir)=3a(bleu) parce que quand tu le mets au carré : a²(noir)=9a²(bleu) parce que 3a*3a ça fait 9a². Donc il suffit de choisir ton a noir comme égal à 3a(bleu).
Et maintenant pour le b, et bien on va utiliser cette égalité : il faut que tu aies -2ab(noir)=-3a (bleu). Je répète que le a noir et le a bleu ne sont pas les mêmes. Et maintenant il te suffit de résoudre cette petite équation sachant que ton inconnue c’est b. Tu cherches b.
Tu viens de trouver a, c’est 3a(bleu). Donc tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc tu obtiens b(noir)=1/2. Voilà comment tu as trouvé ton a noir et ton b noir dans cette identité remarquable. J’espère que tu as compris comment on a identifié ces deux termes ici entourés en rouge.
Tu peux maintenant transformer tes deux termes entourés en rouge en ceci moins b² parce qu’il faut passer ce b² de l’autre côté. Donc en fait a²-2ab c’est égal à (a-b)²-b². Donc tu vas pouvoir transformer notre polynôme initial 9a²-3a+1/4 en ceci : notre identité remarquable sous sa forme factorisée moins b² et il ne faut oublier le +1/4 :
« Calcul mathématique »
Donc il ne te reste plus que (3a-1/2)² et c’est bien la forme factorisée de cette identité remarquable ici en noir. Donc on obtient bien la forme factorisée de ton polynôme du second degré.
Et donc tu vois bien que ton polynôme du second degré, ce n’est rien d’autre qu’une identité remarquable, c’est-à-dire la forme développée de cette identité remarquable-là. Ça, c’est sa forme factorisée.
Voilà, et maintenant on va revenir à la résolution de notre inéquation mais juste avant, j’oubliais une petite chose, c’est qu’on était en train d’étudier le signe de ce polynôme et ici on est arrivé à sa forme factorisée.
Et sa forme factoriser est tellement simple qu’étudier son signe est immédiat puisque sa forme factorisée est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Donc ça, c’est supérieur ou égal à 0. Donc en fait, l’étude du signe de ton polynôme du second degré est très simple puisque, tout simplement, ton polynôme du second degré se met sous la forme de quelque chose au carré, donc forcément supérieur ou égal à 0.
Donc maintenant, ce qu’on va faire, c’est revenir à la résolution de notre équation.
Résoudre une inéquation du second degré
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On résout l’inéquation, finalement
Donc ce que nous venons de trouver c’est que ton polynôme en fait, il est égal à ceci : (3a-1/2)². Et il faut résoudre l’inéquation suivante : tout ceci inférieur ou égal à 0.
Donc il faut trouver les petits a qui vérifient ceci inférieur ou égal à 0. Or on vient de dire que ceci, qui est un carré, est positif ou nul.
Donc ici tu peux rajouter que c’est supérieur ou égal à 0 parce que, de fait, c’est un carré et un carré est toujours positif ou nul.
Donc tu as une expression qui est comprise entre 0 et 0 sachant qu’elle peut être égale à 0. Ce ne sont pas des inférieurs stricts ou supérieurs stricts.
Donc en fait ton inéquation initial revient à résoudre l’équation suivante : (3a-1/2)²=0 tout simplement; Parce que vu que ce polynôme est un carré, un carré ne peut pas être strictement négatif. Ça c’est clair. Mais dans cette inéquation il y a aussi la partie « égal à 0 ». On te demande aussi pour quelle valeur de a ce polynôme peut être égal à 0 au travers de cette inéquation.
Donc en fait, il te reste plus qu’à résoudre ton polynôme égal 0. Et ton polynôme qui peut aussi se mettre sous cette forme-là, et bien ça revient à résoudre cette équation-là.
Et donc maintenant comment faire pour résoudre cette équation ? Et bien maintenant ça va être beaucoup plus simple. Il te suffit d’utiliser une bonne vieille règle de collège que tu connais surement qui est :
Un produit de deux facteurs est nul, donc comme ici, si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
Tu sais bien qu’ici tu as un produit de facteurs puisque c’est un carré, donc tu peux le mettre sous la forme : (3a-1/2)(3a-1/2)=0. Et donc la règle que je viens de t’énoncer oralement, elle te dit que cette équation est équivalente à : tu obtiens ceci : ce facteur-là est nul ou ce facteur-là est nul.
Or ce sont les mêmes facteurs tu vois. Donc forcément c’est équivalent à 3a-1/2=0. Tu vois, si vraiment j’appliquais rigoureusement la règle que je viens de te dire (un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul) et bien je mettrais OU 3a-1/2=0. Mais je ne vais pas le répéter.
Donc là, il ne te reste plus qu’à résoudre cette équation du premier degré. Tu vois il n’y a plus de carré ici.
Donc comment on résout cette équation ? Et bien il te suffit de passer le -1/2 de l’autre côté. Donc je vais le faire tout de suite. On va obtenir : 3a=1/2 tu vois, en ajoutant à gauche et à droite de cette équation 1/2, le même nombre 1/2.
Et maintenant, pour enlever le 3 devant le a, il te suffit de diviser à gauche et à droite par 3 ou aussi si tu veux, de multiplier par 1/3 des deux côtés.
Donc tu vas obtenir a=1/2*1/3=1/6. ET voilà, tu as trouvé la valeur de a pour laquelle 9a²-3a+1/4 est inférieur ou égal à 0 mais plus précisément égal à 0. Parce que tout simplement ton polynôme ne peut pas être strictement inférieur à 0. Tu ne pourras trouver aucune valeur de a de façon à ce que 9a²-3a+1/4 soit strictement inférieur à 0.
Par contre il y a une seule valeur qui vérifie l’égalité, le « ou égal » ici. Et c’est 1/6.
On peut vérifier très rapidement. C’est une petite vérification de ta solution. Au fait, ta solution tu la noterais comme ceci : S={1/6}, sachant qu’il n’y a qu’une solution pour ton inéquation initiale.
Et donc on vérifie très rapidement que 1/6 est une solution. Tu n’es pas obligé de le faire mais quand tu as une solution, c’est ce que je te recommande de faire pour être sûr que c’est la bonne et que tu ne t’es pas trompé. Donc on remplace a par 1/6:
« Calcul mathématique »
On obtient bien 0 donc c’est bien inférieur ou égal à 0. Voilà donc on a vérifié que notre solution est bel et bien une solution de ton inéquation.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris comment on résout une telle inéquation. En fait, plutôt que d’essayer de s’attaquer directement à essayer d’isoler a (en essayant d’obtenir a inférieur ou égal ou a supérieur ou égal) comme tu le ferais pour une inéquation du premier degré, et bien plutôt que ça, il faut se ramener à une étude du signe de ce polynôme et chercher à savoir quand est-ce qu’il est négatif.
Et se ramener à une étude du signe de quelque chose, et bien là, tu connais d’autres astuces, d’autres techniques et la technique que je t’enseigne sur star-en-maths.tv notamment, c’est de mettre une somme de termes (donc ton polynôme du second degré sous sa forme développé) sous une forme factorisée. Donc il s’agit d’essayer de factoriser ton expression pour en étudier plus facilement le signe.
Voilà donc pour cet exercice.
