1ère S Rotation et triangle équilatéral

1ère S Rotation et triangle équilatéral

Comment tu peux introduire une rotation dans un triangle équilatéral ?

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Aujourd’hui la question est assez simple : on a triangle ABC qui est un triangle équilatéral et la question est de savoir s’il existe une rotation de centre A qui transforme le point C en point B.

Alors la première chose que l’on va faire est de dessiner un triangle équilatéral suffisamment grand.

<schéma mathématique>

Je te conseille de noter les longueurs égales avec des doubles-barres comme ceci.

Et nous, on cherche à savoir s’il y a une rotation de centre A qui transforme le point C en le point B. Donc en fait, pour savoir s’il y a une rotation qui peut transformer C en B, et bien ce serait bien de se rappeler ce qu’est une rotation, déjà – ce qu’est une transformation rotation.

Alors une rotation est toujours une transformation qui a un centre et un angle. D’accord ? Donc si tu as une rotation de centre I et d’angle Teta – qu’est-ce que cela signifie ? Et bien ça signifie que à tout point M du plan – alors une rotation est caractérisée toujours par un centre et un angle – on a deux cas qui apparaissent.

Si M = I, M’=I

C’est-à-dire que le point fixe de cette rotation – d’une rotation de manière générale – est son centre. C’est-à-dire que le centre d’une rotation est le seul point qui n’est pas transformé par cette même rotation – c’est un point qui reste lui-même quand on le transforme. Donc, c’est un point qui n’est pas ‘transformé’. D’accord ?

Si, en revanche, M est différent de I – c’est-à-dire on prend un point M du plan qui n’est pas le centre de la rotation, alors on a deux propriétés très importantes :

• on a le fait que la distance IM est égale à IM’ – ça c’est une première chose – et on a l’angle formé par les deux vecteurs IM et IM’ qui est égale à l’angle de notre rotation, Teta.

Revenons donc à nos moutons, c’est-à-dire notre triangle équilatéral ABC. Nous, on cherche à savoir si cette rotation existe. En fait, on cherche à savoir s’il y a un centre – à priori ce serait le centre A, puisqu’on nous le suggère – mais on cherche à savoir si ce centre A est un angle Teta que l’on va essayer de déterminer qui transforme C en B. Si on n’en trouve pas à priori c’est qu’il n’en existe pas. On ne pourra pas prouver qu’il n’en existe pas, mais si on n’en trouve pas c’est qu’il n’en existe pas. Mais, si on en trouve une, on aura répondu ‘oui’ à la question car il en existe au moins une.

Donc, quelle pourrait être une rotation de centre A qui transforme C en B ? Alors déjà il faudrait que le point M ce soit tout simplement le point C, qui est le point initial qu’on va essayer de transformer pour qu’il devienne le point B. Donc, cela veut dire que le point M’ est l’image de C par la rotation qu’on est en train de chercher. Donc le point M’ = B, puisque l’image de C par la rotation est B.

Donc ce que l’on peut écrire c’est que d’après la définition d’une rotation qui est celle-ci que j’encadre en rouge – donc ça veut dire quoi ? Bien puisque M est différent de I qui est le centre de la rotation, nous on cherche une rotation qui est de centre A – et vu que C est différent de A et bien on se retrouve dans ce cas-là, tu es d’accord.

Donc, on a ceci et ceci. Donc IM = IM’. Et dans notre cas ça se traduit tout simplement par le fait que AC = AB. D’accord ? Ça c’est une première chose que l’on obtient de ce cas-ci d’une rotation. Et si tu regardes bien, cette égalité est vérifiée parce qu’on se trouve dans un triangle équilatéral, donc la longueur AC est égale à la longueur AB, donc la première propriété (IM = IM’) est vérifiée pour C transformé en B. D’accord ?

Et maintenant, on a cette deuxième propriété-là, qui est que l’angle formé par le vecteur IM et IM’ est Teta. Mais nous, c’est quoi les vecteurs IM et IM’ dans notre cas ? C’est AC et AB. Donc quel est l’angle formé par les vecteurs AC et AB ? Donc, si on considère que le sens direct, c’est ça, quel est l’angle – d’une façon non-signée – qui se trouve entre les segments AC et AB…quel est cet angle-là ?

Et bien tu sais qu’un triangle équilatéral possède trois angles égaux. Et ces trois angles égaux, dont la somme est 180 degrés – c’est toujours la somme des angles d’un triangle – et bien puisque les trois angles sont égaux, c’est forcément pi sur trois, à savoir 60 degrés.

Donc on a un angle formé par les vecteurs AC et AB – donc un angle signé, orienté plutôt – si on prend ce sens direct qui est moins pi sur 3. En fait, on part du vecteur AC et on va vers le vecteur AB, donc en fait la flèche est dans ce sens-ci – donc l’angle n’est pas de pi sur trois mais plutôt de moins pis sur trois.

Voilà, donc on obtient une mesure d’angle entre AC et AB qui est de moins pi sur 3. Donc finalement, on a trouvé les deux propriétés d’une rotation qui transformerait C en B – et cette rotation serait de centre A et d’angles moins pi sur 3. En effet, on a trouvé une rotation qui transforme C en B, tout simplement.

Donc cette rotation, notons-là ici :

<calcul mathématique>

Donc voilà, plus qu’un exercice, cette question était surtout un rappel de cours – c’était pour te rappeler ce qu’est une rotation dans le plan. Donc une rotation est toujours caractérisée par un centre et son angle. Si tu veux transformer un point qui est en fait son centre, il deviendra lui-même. Donc son centre est un point fixe par cette même rotation. Si en revanche tu veux transformer un autre point du plan, et bien tu vas avoir ces propriétés-là : la distance du point original au centre est la même que la distance du point transformé au centre. C’est ce qu’on retrouve ici ; AC=AB. Et enfin, bien sûr puisque c’est une rotation qui a une notion d’angle, à savoir que l’angle formé par les vecteurs IM et IM’ est en général est référé à Teta. Donc ça c’est vraiment quelque chose à connaître, et surtout à comprendre ; à savoir qu’une rotation n’a qu’un seul point invariant et ensuite qu’il faut connaître ces deux propriétés-là qui caractérisent une rotation dans le plan. Voilà pour cet exercice !