Tableau de signe

Tableau de signe

Comment étudier le signe d’un quotient.

Bonjour à toi, et bienvenue sur Star en Maths TV. Ici Romain, alors dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons étudier le signe de l’expression suivante qui est :

<Équation mathématique>

Donc, cette expression comme tu peux le voir dépend de l’inconnue x, la variable x plutôt. Et tu imagines bien que son signe va peut-être dépendre des valeurs de cette variable x. Donc, avant tout, qu’est-ce que ça veut dire d’étudier le signe de cette expression et bien ça va vouloir dire de trouver quel est le signe en fonction des valeurs de x de ce quotient. D’accord? Et comment tu répondras concrètement à cette question, ben tu pourras dresser un tableau de signe.

Ce qu’on va faire dans un premier temps, c’est déjà déterminer les valeurs interdites parce qu’ici tu as un quotient et tu vois que la variable x intervient dans ce quotient et plus particulièrement au dénominateur de ce quotient et il y a une opération en mathématiques que tu ne peux pas faire, c’est diviser par zéro. Donc, si le dénominateur de ton quotient vaut zéro alors il y a un problème et ça correspondra aux valeurs interdites que ne pourra pas prendre la variable x.

Donc, toujours, première chose quand tu abordes une expression, plus particulièrement l’étude de son signe, ou autre chose d’ailleurs, il faut d’abord déterminer les valeurs interdites de ton expression. Y’en a pas toujours, mais parfois il y en a et notamment quand tu as des opérations de diviser ou de racine carrée. Donc, ici, il n’y a pas de racine carrée, mais il y a une opération de diviser. Et tu ne peux pas diviser par zéro en maths, je te le répète, donc ici x au carré doit être différent de zéro. Donc ça, c’est notre condition sur notre dénominateur.

Est-ce que cette condition va nous permettre de trouver les valeurs interdites, c’est-à-dire en fait les valeurs que ne peut jamais prendre la variable x dans ce quotient? Pas tout à fait en fait, ce qu’il faut faire, c’est résoudre le dénominateur égale zéro pour trouver les valeurs interdites. Alors, dénominateur égale zéro, ça veut dire x au carré, le dénominateur donc, égale zéro. Et comment tu résous cette équation, et bien en fait tout simplement si x au carré égale zéro, tu sais que x égale zéro parce que tu sais depuis le collège qu’un produit de facteur est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul et tu sais que x au carré c’est un produit de facteur parce que c’est tout simplement x fois, donc facteur, de x, c’est-à-dire lui-même donc ça ça vaut zéro. Donc, tu n’as cette égalité : x x x = zéro que si x égale zéro ou x égale zéro, donc si x égale zéro tout simplement.

Donc, voilà la valeur interdite, c’est quand x vaut zéro, le dénominateur x au carré vaut zéro aussi et ça n’est pas possible, donc ça, c’est la valeur interdite.

Ensuite, comment va-t-on faire pour étudier le signe de cette expression?

Alors, tu sais que souvent il est plus facile d’étudier le signe d’une expression qui est mise sous forme d’un produit de facteurs, c’est-à-dire quelque chose fois quelque chose d’autre, comme ça si tu connais le signe du premier quelque chose et le signe du second quelque chose, et bien le signe de la multiplication des deux, c’est-à-dire de quelque chose 1 fois quelque chose 2 et bien ce sera tout simplement plus par plus ça te donne plus, plus par moins, ça te donne moins, moins par plus aussi, et moins par moins, ça te donne plus. OK?

Donc, souvent, c’est plus facile quand c’est mis sous forme d’un produit de facteurs. Mais, en fait une opération de diviser c’est la même chose, c’est aussi une multiplication une opération de diviser. C’est aussi :

<Calcul mathématique>

Tout ce numérateur-là, fois l’inverse de x au carré, c’est-à-dire fois un sur x au carré.

Donc, si on arrive à avoir le signe du numérateur et le signe du dénominateur, on aura en fait trouvé le signe de notre expression quotient ici.

Donc, c’est vraiment ce que je te propose de faire, ce qu’on va faire, c’est étudier le signe d’abord du numérateur, c’est-à-dire ce qu’il y a au-dessus du trait de fraction et ensuite du dénominateur.

Alors, pour étudier le signe de ce numérateur, en fait, ce que je te propose de faire, c’est de prendre un exemple pour comprendre un petit peu comment ça marche le signe de ce numérateur. Comme exemple, tu peux prendre par exemple x égale 1. Donc, pour x égale 1, t’as qu’à remplacer pour voir combien vaut le numérateur.

Donc, tu obtiens

<Calcul mathématique>

Donc, voilà combien vaut ton numérateur. On fait le calcul et on va obtenir moins quatre facteur de deux moins 1, donc ça, c’est un donc t’as un au carré et moins quatre facteur de un c’est aussi moins quatre fois un, c’est moins quatre et moins quatre moins un ça fait moins cinq.

Donc, ça, moins cinq, c’est un nombre qui est négatif. Donc là, en prenant un exemple x égale un, t’obtiens un nombre qui est négatif.

Bon, voilà, tu comprends peut-être que ton expression elle est parfois négative peut-être toujours d’ailleurs parce que si tu prends x égale moins un, un autre exemple, et bien tu fais le même calcul, mais en remplaçant x par moins un, tu vas obtenir moins quatre facteur de deux, mais x c’est moins un, donc moins moins 1, donc 2 plus 1, le tout au carré moins un, et ça, si on calcule :

<Calcul mathématique>

Ça fait moins trente-sept et ça aussi c’est négatif.

Alors, peut-être que maintenant tu commences à comprendre que notre numérateur en fait il est toujours négatif.

Alors, je te disais que c’est vrai que, en regardant juste le numérateur qui est une somme de termes ou plutôt une différence de deux termes, c’est

<Équation mathématique>

Ça c’est le premier terme et là t’as un moins et ensuite t’as le deuxième terme, donc notre numérateur c’est bien une différence de deux termes. Bon, étudier le signe d’une différence ou d’une somme de deux termes, c’est pas toujours évident, je te disais que c’est plus facile d’étudier le signe d’un produit de facteurs, mais là on n’a pas de produit. Donc, est-ce que c’est pas simple en fait quand même d’étudier le signe de cette différence, et bien si parce-que si tu observes en fait les deux termes de ta somme puisqu’une différence c’est aussi une somme. Regarde, on peut écrire aussi le numérateur que je vais réécrire ici :

<Équation mathématique>

Moins un, ça se dit aussi plus moins un. Mais, tu es d’accord que si tu ajoutes deux nombres qui sont négatifs chacun, forcément tu obtiendras à la fin un nombre négatif et c’est ce qu’on a obtenu ici, on a obtenu que des nombres négatifs et en regardant bien chaque terme de ta somme cette fois-ci, premier terme et deuxième terme. Deuxième terme c’est moins un et ça, on sait que c’est un nombre négatif et est-ce que le premier terme n’est pas aussi un nombre négatif et bien si parce que c’est moins devant quelque chose qui est positif parce que ce qu’on a à l’intérieur, c’est-à-dire

<Équation mathématique>

Et bien ça c’est positif, donc moins devant un nombre qui est positif, tout ça c’est négatif, tout ça c’est inférieur ou égale à zéro.

Donc, t’as un premier terme négatif plus moins un forcément à la fin ça te donne un terme qui est négatif. Et pourquoi le terme qui est entouré en orange est positif? Parce que c’est quatre facteur d’un carré, deux moins x, le tout au carré, c’est forcément un nombre positif parce que c’est un carré. Donc, quatre fois ce nombre au carré c’est aussi un nombre positif parce que quatre est positif. Tu comprends ?

Donc, forcément la somme de ces deux termes ici est négative. Donc, on a trouvé le signe du numérateur et ce signe il est tout le temps négatif quelle que soit la valeur de x, en fait, donc ça ne dépend pas vraiment de la valeur de x. Bien sûr, la valeur du numérateur dépendra de la valeur de x, mais son signe à cette valeur, c’est tout le temps négatif. Ici, on avait trouvé moins cinq négatif et moins trente-sept aussi négatif.

Donc, maintenant, et bien, il suffit de regarder le signe du dénominateur et le signe du dénominateur c’est tout le temps plus parce que c’est un carré le dénominateur, c’est x au carré, donc, tu vois, je vais le noter très rapidement, le signe du dénominateur, c’est plus.

Donc, tu vois qu’on utilise vraiment des règles toutes toutes simples pour étudier le signe d’expressions, ici le signe d’une somme, ben chacun des termes était négatif donc forcément la somme de deux termes négatifs et bien ça donne un nombre négatif et au dénominateur, et bien un carré c’est forcément positif ou nul. Là, ça peut pas être nul puisque c’est au dénominateur et quand c’est nul, on obtient la valeur interdite. Donc, à partir de ces informations, donc, un numérateur tout le temps négatif et un dénominateur tout le temps positif, on obtient le signe de notre expression quotient, c’est-à-dire moins un nombre négatif au numérateur sur un nombre positif au dénominateur, donc moins sur plus, ça te donne un nombre forcément négatif.

Tu vois, donc, on peut tracer très rapidement le tableau de signe. Si tu veux donc, tu mets comme première ligne x. x varie de moins l’infini à plus l’infini, mais faut absolument pas oublier la valeur interdite que je vais faire figurer si tu veux en rouge. La valeur interdite c’est tout simplement x égale zéro. Donc, là, t’as une valeur qui est très importante qu’on fait figurer dans le tableau de signe. Donc, voilà, ça, c’est la première ligne de notre tableau de signe et la deuxième ligne c’est notre expression que je vais noter Q comme quotient de x, c’est un quotient fonction de x, c’est comme une fonction quelque part.

Ici, au niveau de la valeur zéro, tu peux mettre une double barre parce que zéro est une valeur interdite de ton quotient et la double barre, ça signifie une valeur interdite et on avait dit au niveau du signe. Ici, j’aurais dû mettre plutôt signe de Q de x, voilà, on avait dit que c’était un nombre négatif donc le numérateur sur un nombre positif le dénominateur donc c’est forcément moins sur plus ça donne moins. Moins ici et moins là, tu vois. Par exemple, on peut prendre x égale un. On avait trouvé au numérateur, tu te souviens moins cinq et au dénominateur ça donne un au carré, ça donne un. Donc Q de un, finalement, ça donne moins cinq sur un donc moins cinq. Et c’est bien un nombre négatif. On est ici plutôt. Tu vois, quand x égale un.

Donc, ça, c’était juste un exemple. Mais, en tout cas, dresser le tableau de signe comme ceci, ça répond entièrement à ta question, donc voilà la réponse à ta question.

Donc, j’espère que tu as compris la méthode pour étudier le signe d’un quotient.

Première chose, tu détermines les valeurs interdites en résolvant l’équation dénominateur égale zéro, ici ça correspondait à

<Équation mathématique>

Donc x égale zéro et la valeur interdite, c’est zéro. Tu la feras figurer dans le tableau de signe final par une double barre.

Deuxième chose, tu étudies pour avoir le signe de ton quotient total et bien le signe du numérateur puis le signe du dénominateur et le signe final et bien tu utilises les règles suivantes :

Moins par moins, ça donne plus;

Plus par plus, ça donne plus;

Et moins par plus ou plus par moins, ça donne moins.

Et donc là on obtenait de toute façon un signe qui est tout le temps négatif quelle que soit la valeur de x.

Voilà donc pour la méthode générale, donc deux choses je répète :

1 – les valeurs interdites

2 – le signe du numérateur et du dénominateur et tu peux enfin dresser ton tableau de signe final.

Voilà donc pour cet exercice. Je t’encourage aussi à télécharger le guide que j’ai écrit : « Sept astuces pour augmenter rapidement tes notes en maths » qui te donne des astuces pour améliorer ton efficacité au travail et je t’assure que ça peut te faire bondir ta moyenne de maths si tu respectes, si tu appliques en fait les règles que je t’explique dans ce guide.