Tangente à un cercle

Tangente à un cercle

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Aujourd’hui nous allons résoudre un exercice un petit peu compliqué, puisqu’il s’agit de trouver une équation de la droite tangente au cercle d’équation

<calcul mathématique>

Et cette tangente nous la cherchons au point

<calcul mathématique>

Alors tout d’abord, je dis que c’est un exercice difficile parce qu’il s’agit de comprendre un énoncé et ensuite de le traduire.

Alors comprendre l’énoncé – on te parle de trouver une équation de la droite tangente au cercle de cette équation-là. Pourquoi cette équation-là est une équation de cercle ? Alors déjà tu n’es pas sensé avoir qu’une équation de cercle s’écrit d’une façon générale

<calcul mathématique>

Donc, si on arrive à transformer cette équation-là en une équation qui ressemble à celle-ci, et bien on aura bien montré que c’est une équation de cercle. On n’a pas à le montrer ici – dans l’exercice on nous le dit, mais ce serait bien de savoir que c’est bien une équation de cercle pour peut-être trouver les coordonnées justement du centre du cercle, dans notre cas, et aussi son rayon parce que peut-être qu’on peut en avoir besoin pour résoudre l’exercice.

Donc comment finalement transformer cette équation en celle-ci ? Alors ce que je te propose de faire c’est que puisqu’on a

<calcul mathématique>

Voila ! Donc ici tu obtiens cette équation qui est égale à :

<calcul mathématique>

Voila ! Et ici on obtient une belle équation de cercle. Ici on reconnaît bel et bien une équation de cercle, et cette équation de cercle – on a des données supplémentaires ici puisque son centre, on va le noter

<calcul mathématique>

Et son rayon, et bien c’est tout simplement en procédant par identification

<calcul mathématique>

Donc maintenant revenons à la question posée par l’exercice, où il s’agit de trouver une équation de la droite tangente à ce cercle-là et en le point O de coordonnée 00. Alors si tu fais un dessin très rapidement, peu importe… je ne vais pas faire un repère orthonormé, mais je vais tout simplement tracer un cercle. Si tu traces un cercle, ici son centre c’est I, donc je ne trace pas de repère orthonormé de façon à simplifier les choses… voilà ! Qu’est-ce qu’une droite tangente à ce cercle ? Et bien une droite tangente à ce cercle, je vais la tracer ici en vert, si on considère que le point O il est ici, et bien une droite tangente à ce cercle en le point O, parce que on ne parle jamais d’une droite tangente à un cercle comme ça – elle est tangente au cercle en un point du cercle, donc ici en le point O, et bien c’est une droite qui va ressembler à ça :

<calcul mathématique>

D’accord ? Donc il faut trouver l’équation de cette droite qu’on va appeler delta. Et cette droite delta, elle est tangente au cercle parce qu’elle touche juste au point O. Elle effleure le cercle juste en ce point O-là. Et ce qu’il y a de plus c’est qu’on a la propriété suivante : ici on a le segment OI. En fait le segment OI est perpendiculaire à delta. C’est-à-dire toute tangente à un cercle en le point O eh bien est perpendiculaire à la droite OI. Sachant que I est le centre du cercle – ça c’est une propriété qu’on a.

Donc là, je t’ai montré ce que c’est qu’une tangente à un cercle en un point donné du cercle, ici il faut aussi montrer que le point O appartient bien au cercle. En fait c’est évident, puisque le point O est de coordonnée 00, et donc :

<calcul mathématique>

Donc ça veut bien dire que le point O appartient bien au cercle. L’énoncé le sous-entendait, mais en fait c’est bien vrai, il n’y a pas de problème. Mais nous il fallait bien le vérifier pour s’en assurer. Donc pour trouver ici l’équation de cette droite verte, sachant qu’on a :

<calcul mathématique>

Ici c’est juste un schéma qui sert d’aide, ce n’est pas un schéma exact puisque je n’ai pas tracé de repère orthonormé et tu vois que les coordonnées ne sont pas tout à fait valides. Normalement, le point I serait à peu près là, par rapport au point O – mais ce n’est pas grave, ça nous permet néanmoins de résoudre l’exercice, puisque :

<calcul mathématique>

Pourquoi ? Parce que comme je viens de te le dire, une propriété de la tangente en un point du cercle et bien c’est que cette tangente est perpendiculaire à la droite ici OI et donc on a ce produit scalaire ici qui est nul. Ainsi, si on traduit ceci de façon analytique, donc avec des coordonnées, et bien tu utilises la définition analytique du produit scalaire en disant que :

<calcul mathématique>

Voila ! Donc ça caractérise les points M de coordonnées xy qui appartiennent à la droite delta qui est tangente au cercle en le point O.

Et ici on obtient une équation de la droite, donc on a résolu l’exercice. Tu peux mettre l’équation de cette droite sous une autre forme :

<calcul mathématique>

Donc voila l’équation de la droite que nous cherchions.

Donc voila ! Pourquoi c’est un exercice compliqué ? Et bien déjà parce qu’il fallait reconnaître en cette équation que c’était une équation de cercle ; il fallait bien aussi comprendre que O, le point O dont on nous parlait de coordonnées 00 donc l’origine d’un repère orthonormé, appartenait à ce cercle, et ensuite, il faut bien comprendre ce que c’est qu’une tangente d’un cercle en ce point O-là. Et une fois que tu as bien compris cela, il faut traduire l’énoncé en disant que cette tangente au cercle – et bien tout simplement elle peut être caractérisée par le fait que si tu prends un point M de cette tangente, et bien :

<calcul mathématique>

Puisque la tangente finalement est perpendiculaire à la droite OI. Ça c’est une propriété qu’on a, donc ici on a bien trouvé une équation de notre tangente au cercle.