Formule du taux de variation

Comment comprendre la notion de dérivation à partir de la définition de la dérivabilité d’une fonction en un point ?
Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui, un petit peu difficile, nous allons essayer de comprendre ensemble la notion de dérivation d’une fonction.
On va essayer de comprendre un petit peu mieux c’est-à-dire au-delà du simple calcul de la dérivée d’une fonction.
Pour ce faire, on va utiliser l’exercice suivant. On va retrouver la dérivée de la fonction toute simple qui à x associe (x+1)², à partir de la définition de la dérivabilité de f en un point.

Ça peut te paraitre une peu compliqué comme ça mais dans un premier temps, ce qu’on va faire, c’est rappeler ce qu’est la définition de la dérivabilité de f en un point.
Nous allons donc rappeler ensemble cette définition. Je vais te la rappeler en noir. En fait, d’une façon théorique, une fonction f est dérivable en un point qu’on va noter par exemple x…
Quand on parle d’un point ce n’est pas un point en deux dimension avec deux coordonnées, on parle juste d’un nombre. f est dérivable en un nombre plutôt qu’un point, mais c’est la même chose.
Donc f est dérivable en un point x (là on fait vraiment un rappel théorique de la définition, on va l’appliquer ensuite à notre fonction qui à x associe (x+1)²) si et seulement si (ssi qui se note aussi avec cette flèche à double sens) la limite quand le nombre h tend vers 0 (donc tu considères dans ta tête que le nombre h est un tout petit nombre, il tend vers 0), donc la limite de [f(x+h)-f(x)]/h existe et est finie.
C’est-à-dire qu’il faut que la limite ne soit pas un cas indéterminé et il faut qu’elle soit fini, que ce soit un nombre fini. ça ne peut pas +l’infini ou -l’infini. « Existe et est finie » : ces deux choses-là sont très importantes.

Cette définition, c’est donc la définition théorique de la dérivabilité d’une fonction f en un point donné, le point x. Et ça peut te paraitre un petit peu compliqué.
Donc on va essayer de comprendre ce qu’est ce truc là. Qu’est-ce que c’est que cette quantité et pourquoi on prend la limite de cette quantité quand h tend vers 0 ?

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Retrouver une fonction dérivée grâce à la définition du nombre dérivé

Donc pour expliquer un petit peu d’où vient ceci, dans un premier temps, on va retrouver la limite de cette fonction non pas avec les dérivées des fonctions que tu connais mais en utilisant vraiment cette limite-là.
Dans un deuxième temps, je vais t’expliquer graphiquement ce que veut dire cette quantité et ce que veut dire la limite de cette quantité.
Donc la première chose que j’aimerais faire avec toi, c’est retrouver la dérivée de cette fonction. Alors déjà, si tu voulais calculer la dérivée de cette fonction, comment tu ferais ?
Déjà, tu vois, on le dit très rapidement à l’oral, c’est une fonction qui est définie sur R, c’est-à-dire qu’elle est définie pour n’importe quel x réel. IL n’y a pas de valeur interdite ici donc il n’y a pas de problème pour ça.
C’est aussi une fonction polynomiale, il suffit de développer. Si tu prends un x appartenant à l’ensemble des réels tu as f(x)=(x+1)² et si tu développes, qu’est-ce que tu obtiens ? Et bien on applique l’identité remarquable (a+b)² c’est-à-dire x²+2x+1. Et ça, c’est tout simplement un polynôme du second degré parce que la puissance s’arrête à 2. Il n’y pas de puissance supérieure à 2.
Donc d’après ton cours, tu sais qu’une fonction polynomiale c’est toujours dérivable. Donc on va pouvoir dériver cette fonction. On va pouvoir faire le calcul de la dérivée.

Et si on te demandait de calculer tout de suite la dérivée de cette fonction, comment tu ferais ? Et bien tu connais quelques règles pour dériver des fonctions.
Je vais te rappeler une petite règle que tu connais, c’est la suivante : par exemple si tu veux dériver la fonction, tout simplement x exposant n. Je vais mettre entre parenthèse et (x puissance n)’. La dérivée de cette fonction x puissance n c’est égal à n*x exposant (n-1). Donc tu retranches 1 à la puissance. Ça c’est une règle que tu connais.
Et en utilisant cette règle tu vas pouvoir dériver ta fonction très rapidement. Si on te demandait de dériver tout de suite la fonction f, c’est comme ça que tu ferais. Donc ici, tu peux dire que tu as une somme de sous-fonctions. La première sous-fonction, c’est x², la deuxième c’est 2x et la troisième c’est la fonction constante =1.
Et tu sais aussi, c’est une autre règle, que la dérivée d’une somme de sous-fonctions, c’est la somme des dérivées de chaque sous-fonction. J’espère que tu comprends ce que je dis. C’est-à-dire que pour dériver tout ce polynôme, il suffit de dériver chaque terme en-dessous duquel j’ai mis ici une accolade.
Donc on va dériver d’abord x². La dérivée de x² c’est quoi ? Tu peux utiliser ceci. x, c’est le x noir et ton carré, c’est le n donc ça va devenir 2*x exposant 2-1 mais 2-1 c’est 1 et exposant 1 ça ne sert à rien de le mettre. Un nombre puissance un, c’est ce nombre. Ensuite on dérive 2x. Pareil, tu peux utiliser cette petite règle ici. Donc le 2 va rester devant. Ensuite tu dérives le x. C’est x puissance 1 donc tu vas obtenir x puissance 1-1 donc 0. Donc 2*1 donc tout simplement 2.
Ensuite la dérivée de la fonction constante égale 1. Et bien c’est tout simplement 0. Donc tu vas obtenir 2x+2. Voilà le résultat de la dérivée de f(x). La fonction 2x+2, c’est la dérivée de f.

Donc maintenant que tu connais la dérivée, tu l’as calculée grâce aux règles de calcul que tu connais sur les dérivées et on aimerait retrouver ce résultat si tu veux, en utilisant la définition théorique de la dérivabilité de f en un point x. Comment on va faire ?
On va déjà calculer cette quantité-là : [f(x+h)-f(x)]/h. Ce que je te propose de faire, c’est que tu prennes un nombre h, n’importe lequel. Soit h appartenant à R et ensuite tu vas calculer ce quotient [f(x+h)-f(x)]/h. On va le faire tout de suite. Ça peut paraitre un petit peu compliqué mais tu vas voir que ça va se simplifier notamment quand on va calculer la limite justement quand ce nombre h tend vers 0. Déjà, calculons le quotient. Il ne faut pas se tromper. f(x+h) on remplace x par x+h dans ce quotient. On va obtenir :
« Calcul mathématique »
Ensuite ce quotient on va le simplifier parce que ce qu’il y a au-dessus, peut-être que tu t’en doutes, il y a des choses qui vont se simplifier. Pour simplifier certaine chose, il va falloir développer. Tu vas développer ceci et aussi ceci. C’est ce qu’on va faire tout de suite. Pour simplifier le numérateur on va développer chaque terme entouré. Pour développer ce terme-là, on va y aller très progressivement. On va considérer que c’est une somme de 2 nombres plutôt qu’une somme de trois nombres puisque tu sais développer le carré d’une somme de deux nombres.
Donc on va considérer que x+h c’est notre premier nombre et notre deuxième nombre c’est 1. Qu’est-ce que c’est que la forme développée de cette identité remarquable ? Sachant que le a de notre identité remarquable c’est x+h et le b c’est 1. On obtient :
« Calcul mathématique »

Ensuite on utilise la forme développé de cette identité remarquable-là. C’est tout simple et je vais tout de suite développer avec le moins devant. On va obtenir :
« Calcul mathématique »
Ici on va redévelopper parce que tu vois bien qu’on a (x+h)². On aussi des choses qui se simplifient déjà puisque tu as 1²-1. 1² c’est 1 donc 1²-1 ça fait 0. Donc ça se simplifie. Ici le *1 ça ne sert à rien, tu peux l’enlever. Ici quand tu vas développer 2*(x+h) c’est aussi 2x+2h. Le 2x va se simplifier avec le -2x ici. Il va juste te rester 2h. Je continue en développant ici. On va écrire en dessous :
« Calcul mathématique »
Donc c’est des calculs un petit peu compliqué mais tu vas voir que tout se simplifie à la fin. Et qu’on va retomber sur nos pieds d’une façon assez étonnante. Tu vois que tu as x²-x² donc ces deux choses-là, ça s’en va. Et tout ceci c’est sur h. Donc tu vois que tu as des h partout donc tu vas pouvoir le simplifier par h et tu vas obtenir quelque chose qui n’est plus un quotient. Donc ça fait :
« Calcul mathématique »

Donc on obtient 2x+h+2.
Au fait, j’ai oublié de dire quelque chose avant : il faut que ton h soit différent de 0 parce qu’on divise par h. donc c’est important de prendre h appartenant à R*. Souviens-toi que R*, c’est l’ensemble des réels auxquels tu as enlevé 0. Donc ici h ne doit pas être égal à 0. J’avais oublié de le dire et il faut le dire.
Maintenant, quand tu prends la limite quand h tend vers 0 de tout ce quotient… mais qu’on vient de calculer dans le cas particulier de note fonction f, et on a trouvé que ça valait ceci. D’ailleurs ce quotient ça a un nom, ça s’appelle le taux de variation, je ne sais pas si tu vas retenir ça. Tout ceci c’est le taux de variation de la fonction f en le point x. Il faut toujours préciser les choses en mathématiques.
J’ai oublié de mettre aussi ici que f est dérivable en x. Ici il y a en. En le point x.

Donc comme je te le disais, nous allons maintenant prendre la limite quand h tend vers 0 de tout ce quotient, c’est-à-dire de tout ceci. Donc je vais l’écrire d’une autre couleur. On va calculer la limite quand ce nombre h, qu’on avait pris comme étant n’importe quel réel différent de 0. Donc limite quand h tend vers 0 de tout ceci. C’est aussi la limite quand h tend vers 0 de tout ceci. Tu vois, je reporte la limite.
Et donc c’est aussi la limite de tout ceci quand h tend vers 0. Et justement, dans notre cas particulier, quelle est la limite de cette quantité quand h tend vers 0, sachant que tout le reste est fixé. C’est-à-dire que x lui, il ne bouge pas. C’est un nombre que l’on avait fixé au départ. x c’est un nombre réel. Considère que c’est le nombre 10 par exemple et il ne bouge pas. Il y a juste h qui bouge quand tu calcules la limite quand h tend vers 0.
Donc 2x, ça ne bouge pas. 2 ça ne bouge pas non plus. Par contre h justement ici, ça devient 0. Donc tu vois qu’à la fin, cette limite, il nous reste 2x+2.
Voilà en fait comment on a trouvé le nombre dérivé de la fonction f en le point x. En n’importe quel point x puisqu’au début tu aurais pu avoir fixé x comme étant n’importe quel nombre réel.

Donc en fait on a retrouvé l’expression de la dérivée de f en n’importe quel point x en utilisant cette définition un peu compliquée en noire.
Donc tu vois que toutes les petites règles de calcul, celles que j’ai rappelées notamment ici, bref toutes tes petites règles de calcul qui te permettent de calculer la dérivée, et bien en fait on pourrait les retrouver grâce à cette définition, c’est-à-dire grâce à la limite de ce taux de variation de f en x quand h tend vers 0.
Donc bien sûr, dans la majorité des exercices, tu ne referas jamais tout ce calcul. Mais c’est pour te dire quand même que ce calcul il ne vient pas de nulle part et il te permet de retrouver ou de trouver tout simplement, les règles de calculs sur les dérivées que tu utilises déjà.
Voilà, ça c’était la première chose que je voulais te montrer. L’objectif était de te montrer qu’on peut retrouver la dérivée d’une fonction en utilisant la définition de la dérivabilité de cette fonction. Donc en fiat, cette définition c’est justement la limite de ce quotient.
Maintenant, j’aimerais te montrer ce que signifie ce quotient et tu vas voir qu’en fait c’est quelque chose de très concret.

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Explication graphique du nombre dérivé

Donc deuxième chose, j’aimerais te montrer ce que c’est graphiquement, à quoi ça correspond ce taux de variation et surtout, ce taux de variation quand h tend vers 0. Tu vas voir que c’est quelque chose de très concret.
Alors déjà première chose, graphiquement, quand tu essaies de tracer la courbe de cette fonction, tu obtiens tout simplement une parabole. Tu te souviens que la courbe d’une fonction polynomiale du second degré, c’est toujours une parabole.
Une parabole tu te souviens, c’est une sorte de cloche. Celle-ci c’est une cloche tournée vers le haut et tu as aussi, le deuxième cas, une cloche tournée vers le bas. Et dans le cas présent de notre fonction (x+1)², et bien en fait, si tu veux la tracer, tu peux le faire sur ta calculatrice, ça te donne une parabole qui est tournée vers le haut, donc comme ceci.
Et plus particulièrement, dans le repère orthonormé suivant : ici tu vas avoir l’axe des abscisses, ici tu vas avoir -1, ici tu vas avoir 0, plus loin tu vas avoir 1 et bien sûr par l’origine passe l’axe des ordonnées. Ça tu es d’accord avec moi. Ici tu peux reporter l’unité sur l’axe des y donc ici tu vas avoir 1.
Voilà, donc bien sûr ce n’est pas tout à fait exact mais tu vas avoir une parabole qui ressemble à celle-ci.

Alors maintenant, qu’est-ce que c’est que ta quantité [f(x+h)-f(x)]/h ? Au fait, là je suis en train de te montrer la deuxième chose que je voulais te montrer dans cet exercice c’est-à-dire la signification graphique de cette chose là, c’est-à-dire de ce taux de variation et plus particulièrement de la limite de ce taux de variation quand h tend vers 0. Donc ça c’est la deuxième chose.
Et donc maintenant, quand on parle de f qui est dérivable en un point x, et bien x c’est quelque chose qui se balade suivant l’axe des abscisses, l’axe des x.
Donc ici on va prendre un nombre x, par exemple ici. Tu es d’accord qu’à ce nombre x correspond une ordonnée qui est justement f(x). Et le point de coordonnées (x;f(x)) appartient à notre courbe bleue, puisque cette courbe bleue c’est justement la courbe de la fonction f. Donc ça c’est vraiment la définition de la courbe de la fonction f. Donc ici tu vas obtenir un point qui appartient à la courbe de f et dont les coordonnées sont (x;f(x)). x c’et son abscisse et f(x) son ordonnée.
Donc déjà première chose, on remarque qu’on a notre f(x) qui apparait ici dans notre quotient, dans notre taux de variation de f en x. Ce f(x) c’est aussi cette quantité là, de 0 à f(x). C’est bien sûr une quantité qu’il faut considérer sur l’axe des ordonnées puisque c’est un f(x).

Maintenant, on va introduire un petit nombre : h. Imaginons qu’on prenne un petit nombre h qui est négatif. Donc soit h un petit nombre inférieur à 0. Tu pourrais le prendre positif mais là, pour des raisons pédagogiques, pour que le schéma soit plus clair je préfère le prendre inférieur à 0. Tu vas voir tout de suite pourquoi. En fait ça nous permet d’avoir x+h qui est ici, en-dessous de x, forcément si tu considères que h est négatif, ça peut être -1 par exemple et bien x-1 ce sera vers là. Tu es d’accord?
Donc ici par exemple, en ce point-là, tu vas obtenir x+h. J’ai choisi h négatif donc forcément x+h c’est en-dessous de x. Et maintenant, quel est le point sur la courbe bleue correspondant à l’abscisse x+h ?
Et bien c’est tout simplement ce point-là, il suffit de reporter verticalement, tu arrives ici. Et ce point-là, il est justement de coordonnées : x+h en abscisse et f(x+h) en ordonnée. C’est justement cette chose-là. Voilà les coordonnées de ce point vert ici. Tu es d’accord ?

Donc maintenant, comment comprendre ce qu’est [f(x+h)-f(x)]/h ? Peut-être que tu te souviens dans ton cours que la notion de dérivée est très proche de la notion de tangente à la courbe de f en un point donné. Donc je vais faire apparaitre deux droites :
D’abord la tangente à la courbe de f en le point noir. La droite rouge qui va être la tangente à la courbe bleue en le point noir. Cette droite rouge ne touche la courbe de f, la courbe bleue qu’en le point noir. Donc ici, ça effleure le point noir.
Et maintenant je vais tracer une deuxième droite, qui est une droite particulière, passant par les deux points vert et noir. Donc tu es d’accord que ces deux droites, la droite rouge et la droit bleu-vert s’intersectent en le point noir puisqu’elles passent toutes les deux par le point noir.
Et donc qu’est-ce qui est intéressant avec cette droite bleu-vert ici ? Et bien, si tu considères que ce nombre h tend vers 0, tu vois tu diminues manuellement le nombre h de façon à ce qu’il tende vers 0. Et bien qu’est-ce qui se passe graphiquement si ça tend vers 0 ? Et bien le nombre ici x+h se rapproche de x. Si h tend vers 0, x+h tend vers x. Donc cette quantité x+h tend vers x.
Et donc si x+h tend vers x, ce point vert ici va se déplacer sur la courbe bleue vers le point noir. Donc ici tu vas avoir un mouvement du point vert vers le point noir. Et finalement la droite bleu-vert que j’avais tracée, elle va se rapprocher de la droite rouge puisque la droite bleu-vert par définition passe par le point vert mais le point vert se rapproche du point noir.
Donc s’il se rapproche du point noir indéfiniment, comme pour une limite… Si les deux points vert et noir se rapprochent indéfiniment, et bien la droite bleu-vert se rapproche indéfiniment de la droite rouge. Donc cette droite devient presque la droite rouge quand h tend vers 0. Donc ça veut bien dire que cette droite bleu-vert qui passe par les points vert et noir, quand tu fais tendre h vers 0, devient la droite rouge qui est la tangente de la courbe de f en le point x.

Et maintenant, autre chose intéressante : qu’est-ce que c’est que ce quotient ? Et bien regarde f(x+h)-f(x), c’est tout simplement la différence des deux ordonnées : celle du point vert moins celle du point noir. Celle du point vert c’est f(x+h), tu vois c’est ça. Moins celle du point noir tu vois c’est celle-ci. Et le tout sur h : h c’est tout simplement la différence des abscisses : c’est à dire x+h, l’abscisse du point vert, moins x, c’est-à-dire l’abscisse du point noir.
Donc regarde bien, si tu notes tes deux points, c’est-à-dire le premier point A et le point noir, le point B, et bien ce quotient, qu’est-ce qu’il devient ? C’est tout simplement (ya-yb)/(xa-xb) : tu vois y a c’est f(x+h) yb c’est l’ordonnée du point b, c’est f(x), xa c’est x+h et xb c’est tout simplement x. Donc x+h-x c’est bien h. Donc là, on a vraiment une égalité entre ces deux choses-là : [f(x+h)-f(x)]/h=(ya-yb)/(xa-xb).
Mais qu’est-ce que c’est que ça ? Et bien tu sais depuis la seconde voir même depuis le collège que ce quotient c’est en fait le coefficient directeur ou la pente, c’est la même chose tu te souviens, de la droite bleu-vert.
Tu vois, en fait ce taux de variation de f en x c’est en fait le coefficient directeur de la droite bleu-vert, sachant que quand tu fais tendre cette droite bleu-vert vers la droite rouge, c’est-à-dire quand tu fais tendre h vers 0, donc la droite bleu-vert tend vers la droite rouge qui est la droite tangente de la courbe de f en x, et bien en fait tu fais tendre le coefficient directeur de cette droite bleu-vert vers le coefficient directeur de la droite rouge.
Donc en fait, qu’est-ce que ça veut dire ? Ça veut dire que le coefficient directeur de cette droite rouge c’est tout ceci et c’est tout ceci aussi quand le point A (le point vert ici) tend indéfiniment vers le point B. Tu vois ils deviennent presque confondus ces points A et B.

Et donc ça je t’avais dit que ça devient le coefficient directeur de la droite rouge quand le point A tend vers le point B. Et ceci quand il existe et est fini c’est justement le nombre dérivé de f en x. Et ce nombre dérivé de f en x, on appelle ça f'(x).
Donc en fait, cette droite rouge a comme pente ou comme coefficient directeur, c’est la même chose, le nombre f'(x) quand tu as fixé x. Ici j’avais choisi le nombre x. ça peut être, vu que c’est en dessous de -1, -1,5. Donc f'(-1,5) quand tu le calcules, et bien tu obtiens un nombre. Tu te souviens d’ailleurs qu’on avait trouvé comme résultat f'(x)=2x+2. Donc tu peux tout à fait calculer f'(-1,5). Ça fait -1.
Donc tu trouves la pente de la tangente à la courbe de f en x=-1,5. Et cette pente, on vient de la calculer ça vaut le nombre dérivé de f en -1,5 et on vient de trouver -1. Donc cette pente c’est -1 si x vaut -1,5.

Donc voilà ce que signifie graphiquement tout ce calcul en fait. Tout ce calcul ce n’est rien d’autre que le calcul d’un coefficient directeur quand tu fais tendre deux points géométriques l’un vers l’autre.
Donc finalement ce qu’on vient de montrer c’est que le nombre dérivé f'(x), donc de f en un point x, c’est en fait le coefficient directeur de la tangente de la courbe de f en le point x.
J’espère que tu as compris, il ne faut pas confondre en fait f'(x) avec la dérivée de la fonction f. Quand on dit f'(x) généralement on dit que c’est la dérivée de la fonction f mais on se trompe un petit peu quand on dit ça. f'(x) c’est un nombre, tu es d’accord. C’est f’ tout seul qui est la fonction dérivée de la fonction f. Alors que f'(x), c’est un nombre et c’est justement le nombre dérivé de f en x.
Et ce nombre dérivé de f en x, je viens de te montrer de façon un petit peu concrète, sur un schéma que c’est justement le coefficient directeur de cette droite rouge ici qui est la tangente en le point noir d’abscisse x, en le point x, c’est comme ça qu’on dit plus rapidement.

Donc je sais que c’est un petit peu difficile à comprendre tout ça mais j’espère que tu as une petit peu compris l’idée. C’est que tout simplement quand on calcule tout ça, on calcule une limite d’un coefficient directeur d’une droite, cette droite tendant vers la droite tangente à la courbe de f en un point x.
Voilà ce que ça veut dire graphiquement. Voilà donc j’ai fini l’explication graphique que je voulais te donner.
Et on peut aussi très rapidement parler de ce qu’est l’approximation affine d’une fonction autour d’un point x.
Et bien en fait une approximation affine, en expliquant ce que ça veut dire, ça veut dire qu’on dit qu’une fonction est presque égale (ça veut dire ça approximer) à une fonction affine.
Et graphiquement ça veut dire que la courbe de la fonction f est presque égale finalement à la courbe d’une fonction affine. Et tu te souviens que la courbe d’une fonction affine c’est une droite. C’est tout simplement par exemple cette droite rouge. Ça c’est la courbe d’une fonction affine. Une fonction affine c’est toujours ax+b. a étant le coefficient directeur.
Donc une approximation affine d’une fonction autour d’un point x, ça veut dire que tu dis que sa courbe est presque égale à une droite en fait, quand tu te rapproches indéfiniment du point x. Et je vais te montrer tout de suite cela sur la calculatrice.

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Voilà donc nous sommes sur ma calculatrice, et ce que nous allons faire dans un premier temps, c’est tracer la courbe de la fonction que nous étudions dans l’exercice qui est (x+1)².
Regardons ce que ça donne. Donc tu vois, c’est une parabole qui est tournée vers le haut et qui passe ici par le point de coordonnées -1 en abscisse et 0 en ordonnée.
ET ce que je voulais te montrer, c’est comment on peut approximer de façon affine cette fonction (x+1)². Donc maintenant ce qu’on va faire, c’est qu’on va approximer de façon affine notre fonction autour du point -1,5. Tu te souviens que c’est le point que nous avions choisi dans l’exercice : x=-1,5.
ET comment on va approximer de façon affine ? Et bien déjà on va chercher le nombre dérivé. Tu te souviens que le nombre dérivé, on avait trouvé f'(-1,5)=-1. Et donc à partir de ce nombre dérivé on va pouvoir trouver l’équation de la droite tangente en -1,5.
C’est une formule que tu dois connaitre, qui te donne la tangente à la courbe d’une fonction en un point donné x et en l’occurrence à la courbe de notre fonction f et en x=-1,5. Et j’ai trouvé après calcul que cette droite a pour équation -x-1,25. Donc ça c’est l’équation de ta droite tangente, tu vas le voir tout de suite, en le point -1,5.

Donc on a toujours la courbe de notre fonction et voici la droite tangente mais pas en n’importe quel point, en le point x=-1,5.
Et maintenant qu’est-ce que c’est que l’approximation affine ? Et bien ça veut dire que la courbe de notre fonction f est quasiment égale à cette droite, quand tu te rapproches de -1,5. Tu es d’accord que là, ce n’est pas égal, là non plus. Mais par contre quand tu te rapproches de -1,5, tu peux presque dire que cette courbe là est en fait presque égale à la droite.
Tu vas voir qu’on va faire un zoom tout de suite autour de notre point d’intérêt. Donc là je définis une boite si tu veux autour de x=-1,5. Tu vas voir que la courbe de la fonction s’identifie presque à la droite. Là c’est notre fonction, et là c’est notre droite. E
Et bien tu vois qu’à ce niveau-là, la courbe de la fonction est quasiment égale à la droite. Et c’est ça l’approximation affine. On peut presque dire que notre fonction, qui est représentée par cette courbe est égale à la fonction représentée par cette droite, c’est-à-dire la fonction affine autour de -1,5.
Donc là j’ai peut-être fait un mauvais zoom, on va dézoomer un petit peu.

Voilà, donc là j’ai redéfini un intervalle. Tu vois qu’ici on a -1,5, ici c’est -1 et ici c’est -2. Et maintenant on va se rapprocher encore de -1,5 qu’on va rezoomer avec notre boite, autour de ce point-là qui est le point de tangence.
Voilà la courbe de notre fonction f et voilà la droite. Et bien, là tu vois que les deux sont quasiment égales. C’est exactement ça l’approximation affine.
J’espère que tu as compris cet exercice un petit peu compliqué. C’est pour ça que je voulais t’expliquer dans un deuxième temps tout ceci graphiquement à l’aide des courbes des fonctions.