Terminale S Axe de symétrie d’une courbe

Comment démontrer qu’une droite verticale est un axe de symétrie de la courbe d’une fonction ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-math.tv. Ici Romain. Et dans l’exercice d’aujourd’hui il va falloir démontrer que la droite d’équation x=-1 est un axe de symétrie de la courbe de f sachant que f est définie comme une fraction rationnelle. Cette fraction est la suivante : (x²+2x+1/4)/(x²+2x+4/3). Et on nous dit aussi que cette fraction rationnelle est définie sur R.
Je te rappelle très rapidement qu’une fraction rationnelle c’est tout simplement un polynôme sur un autre polynôme. Donc c’est exactement quelque chose de cette forme-là. Donc f est bien une fraction rationnelle et on nous dit qu’elle est définie sur R.
C’est une première chose qu’on peut vérifier ensemble parce qu’il est possible peut-être que ce dénominateur s’annule mais à priori non puisque dans l’énoncé on nous dit que cette fonction est définie sur R. mais je te propose qu’on le vérifie quand même ensemble.
Alors comment vérifier que cette fonction est définie sur R ? Et bien il faut tout simplement regarder, comme je te le disais à l’instant, si ce dénominateur ici, qui est un trinôme (autrement dit un polynôme du second degré, c’est la même chose) s’annule ou pas.
A priori ça ne va pas s’annuler puisque s’il existe un x pour lequel ce polynôme s’annule, et bien la fonction f n’est pas définie sur R comme dit dans l’énoncé. Donc on va quand même vérifier très rapidement ça et pour voir si ce polynôme au dénominateur s’annule, il va falloir savoir s’il a des racines ou pas, si tout simplement l’équation x²+2x+4/3=0 possède ou non des solutions. C’est une autre façon de dire si ce polynôme à des racines ou pas.

Donc on va le calculer tout de suite : on va calculer le delta correspondant à ce polynôme. Delta ça va être b²-4ac. Le b c’est 2, le a c’est 1 et le c c’est 4/3.
Donc ça va être 2²-4*1*4/3. Et on va obtenir 4-16/3. SI on met maintenant le 4 sur le même dénominateur que l’autre fraction, c’est-à-dire sur 3, on va obtenir (12-16)/3. ET ça, ça fait -4/3 donc c’est négatif.
Ce qu’on peut donc conclure en ayant calculé delta et en voyant qu’il est négatif, c’est tout simplement que ce polynôme du second degré, que ce trinôme donc n’a pas de racine dans R, donc qu’il n’est tout simplement jamais égal à 0 quelle que soit la valeur de x.
Donc on vient bien de vérifier que la fonction f est effectivement définie sur R. Donc pas de problème pour cet ensemble de définition.

Maintenant on va quand même s’intéresser à la question posée, c’est-à-dire qu’il faut démontrer que la droite d’équation x=-1 est un axe de symétrie de la courbe de f.
Alors maintenant je vais t’expliquer tout de suite comment on peut démontrer ceci : le fait que la droite d’équation x=-1 qui n’est pas n’importe quel genre de droite, est un axe de symétrie de la courbe de f. Alors comment on va pouvoir démontrer ça ?
Et bien on va s’intéresser aux quantités f(-1-x) et f(-1+x) avec x un nombre positif. Alors pourquoi on va s’intéresser à ces deux quantités là ? Et en fait on va vouloir démontrer qu’elles sont égales. Je vais te faire un petit schéma. Je vais tracer un repère orthonormé, l’axe x et l’axe y. ET qu’est-ce qu’il va s’agir de considérer dans ce repère orthonormé ?
Et bien regarde, on reprend ensemble la question. On veut démontrer que cette droite qui est d’équation x=-1… Alors maintenant je vais quand même te dire quelle est la droite correspondant à cette équation. En fait une équation de la forme x égal constante et bien ça signifie que tu te places à un x donné, en l’occurrence -1 (tu places ton origine ici, tu vas avoir ton -1 là) et quand x égal constante, ça veut dire que la droite est verticale. C’est une équation un peu particulière qui n’est pas de la forme y=ax+b mais de la forme x=constante. Ce sont les droites verticales.
Donc là, il va falloir démontrer que cette droite rouge est un axe de symétrie de la courbe de f. Le petit problème c’est que la courbe de f, tu ne sais pas du tout à quoi elle ressemble donc plutôt que de démontrer ceci géométriquement, on va le faire analytiquement, en considérant ces deux quantités.

Alors pourquoi j’ai fait un schéma ? Parce que je veux t’expliquer justement quelles sont ces deux quantités. En fait, si tu prends un x positif ce qu’on peut dire c’est que -1-x, c’est toujours un nombre dans R, donc dans l’ensemble de définition de notre fonction. Donc on peut considérer f(-1-x). De toute façon f de quelque chose existe pour n’importe quel quelque chose dans R. Donc tu peux mettre entre parenthèses ici n’importe quel nombre réel vu que f est définie sur R.
De la même façon on vérifie bien que -1+x appartient à R. Alors maintenant si on regarde de plus près les quantités à l’intérieur des parenthèses, -1-x, en fait on va retrouver notre -1 qui correspond à l’équation de ta droite x=-1. Et il faut ajouter que les quantités qu’on est en train de regarder, donc -1-x et -1+x sont des quantités à regarder suivant l’axe des x et l’image de ces nombres-là vont être à considérer sur l’axe y, c’est-à-dire f(-1-x), ça va être à considérer sur l’axe des y et f(-1+x) également.
Alors -1-x, où est-il par rapport à -1 sachant que tu as x qui est positif ? Ça veut dire que tu prends -1 et tu lui retranches un nombre positif. Donc tu vas te situer par là, tu vois, -1-x ça pourrait être par là. Et -1+x ça va être en partant de -1, tu vois tu ajoutes un nombre qui est positif, donc tu vas te retrouver quelque part par là.
Bon en fait, on va considérer maintenant les images de ces nombres en bleu. Donc f(-1-x), c’est l’image de -1-x et f(-1+x), ça va être l’image de -1+x. ET ça, ce sont des nombres qu’on considère suivant l’axe des y.

Donc si je pars de -1-x, que je calcule f(-1-x), et que je tombe, admettons, là. Donc ici tu aurais ton f(-1-x).
ET si je pars de -1+x et que je calcule son image, imaginons, comme par hasard que je tombe ici, sur cette même ligne horizontale. Donc tu aurais f(-1-x)=f(-1+x). On aurait une égalité entre les deux images de ces deux nombres qui sont de part et d’autre de l’axe vertical représenté par la droite verticale d’équation x=-1.
Donc je vais mettre quelque chose d’autre sur le schéma, c’est qu’on a une égalité entre ces deux longueurs puisque -1-x est une même distance du point -1 que -1+x. Et cette distance c’est tout simplement le nombre x. Tu vois tu retrouves ici le nombre x de part et d’autre.
Donc là, peut-être que tu comprends un petit peu mieux pourquoi il va falloir démontrer que ces deux nombres là sont égaux pour démontrer que la droite d’équation x=-1, donc la droite rouge ici, est effectivement un axe de symétrie de la courbe de f.
En effet, je peux prendre un autre exemple, imaginons que je prenne maintenant un -1-x qui est un petit peu plus loin de la droite rouge, par exemple ici. Le nombre -1+x serait à une même distance de la droite rouge que ce point bleu ici mais à droite. Donc tu le retrouverais vers là. ET bien ce qu’il faut démontrer c’est que le f de ce nombre là et le f de ce nombre là sont égaux. Donc peut-être que tu vas trouver en calculant, un f de ce nombre là qui correspond à ceci. Et si effectivement la droite rouge est un axe de symétrie à la courbe de f, il faut que tu trouves le f(-1+x) qui soit égal.

Donc ici, tu vas avoir une égalité entre f(-1-x) et f(-1+x). Et donc finalement il faut que tu démontres ici une égalité entre ces deux images, entre f(-1-x) et f(-1+x) pour tous les x positifs. ET si tu démontres effectivement ça, ça veut dire que tu démontres que la droite rouge est un axe de symétrie.
Tu vois, ici tu pourrais tracer la courbe de la fonction f. En fait ça pourrait ressembler à ça, ce que je vais te dessiner, en fait une courbe symétrique par rapport à la droite verticale rouge.
Ça ce serait la courbe de f et tu vois bien qu’elle est symétrique par rapport à la droite verticale rouge et que tous les points : celui-ci par exemple et celui-là… Celui-ci à un -1-x qui est son abscisse et ce point-là à un -1+x qui est son abscisse, avec un x positif. ET tu vois bien qu’ils ont le même y, la même ordonnée.
Voilà, donc c’est comme ça qu’on va démontrer analytiquement, et pas géométriquement parce qu’on ne saurait pas comment faire, mais analytiquement on va démontrer que la droite verticale x=-1 est un axe de symétrie de la courbe de f.

Axe de symétrie d’une courbe
Vidéo 2/2
Démonstration : il ne reste plus que le calcul ! C’est le plus facile !

Alors maintenant que tu as compris le principe pour démontrer ceci, et bien c’est parti. Mais c’était le plus dur en fait. Maintenant on va partir dans des calculs.
Tu vois que vraiment, ce qu’il va falloir faire, c’est démontrer l’égalité entre ces choses-là. On va vouloir démontrer que f(-1-x)=f(-1+x) sachant que x est un nombre positif.

Donc c’est parti. On va calculer les deux images. f(-1-x) dans un premier temps. Il va s’agir de remplacer, dans l’expression de f(x), x par -1-x, tout simplement. Donc c’est parti, on va faire ça assez rapidement. On va obtenir au numérateur : (-1-x)²+2(-1-x)+1/4. Et au dénominateur, on va obtenir tout simplement : (-1-x)²+2(-1-x)+4/3.
On va nettoyer un petit peu cette expression. On va développer haut et bas. Ici on va utiliser l’identité remarquable (a-b)² on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Qu’est-ce qui se simplifie là-dedans ? Plusieurs choses : 2x-2x, 1-2 ça te donnera -1. 2x-2x, ça se simplifie.
« Calcul mathématique »
Donc il va rester : (x²-3/4)/(x²+1/3). Donc là on ne va pas aller plus loin, on va laisser f(-1-x) sous cette forme et on va démontrer que f(-1+x) avec x positif, mais en fait ça n’a pas beaucoup d’impact, tu pourrais même choisir x négatif ici, mais il vaut mieux, dans un cas général choisir x positif.

Donc en calculant f(-1+x), tu vas obtenir… Ici tu peux être un petit peu malin et plutôt que de reprendre l’expression de f(x) et de remplacer par -1+x, et bien tu peux reprendre par exemple cette fraction-là et de mettre les moins ou les plus aux bons endroits. C’est un petit peu risqué de faire ça mais ça nous permet d’aller un petit peu plus vite. Donc ça va nous donner :
« Calcul mathématique »
Donc finalement on a toujours les mêmes choses un petit peu qui s’annulent : on a les -2x qui s’annulent avec les 2x et les constantes qu’on va pouvoir regrouper. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc on obtient au numérateur encore x²-3/4. Heureusement puisqu’on veut démontrer que ces deux choses-là sont égales. Et on va prouver que le dénominateur est effectivement égal à x²+1/3. Tu remarques aussi que dans un calcul j’ordonne toujours les termes dans l’ordre des puissances décroissantes. Ça permet d’y voir un peu plus clair.
« Calcul mathématique »

Donc on trouve bien (x²-3/4)/(x²+1/3), donc on retrouve bien notre f(-1-x). Donc là, c’est fini on a terminé l’exercice et la démonstration.
J’espère que tu as bien compris surtout l’explication initiale, c’est-à-dire pourquoi il faut prouver que ces deux quantités sont égales. En fait, il faut se placer de part et d’autre de ta droite dont tu veux prouver qu’elle est un axe de symétrie. Tu vois avec mes doigts, c’est comme si je me plaçais à -1-x et -1+x et il faut montrer que les images de ces deux nombres sont les mêmes pour montrer que les deux points correspondants…
Le premier point de coordonnées (-1-x ; f(-1-x)) et le deuxième point de coordonnées (-1+x ; f(-1+x)). Ces deux points sont sur la courbe de f et il faut montrer que ces deux points sont symétriques par rapport à la droite rouge qu’on avait tracé donc par rapport à la droite d’équation x=-1.
Voilà pour cet exercice, j’espère que tu as bien compris le principe et je te dis à la prochaine sur star-en-maths.tv.