Terminale S Calculer la forme algébrique de l’inverse d’un nombre complexe

Comment mettre l’inverse d’un nombre complexe sous forme algébrique

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Bonjour en bienvenue à toi sur cette vidéo de star en maths
Ici Romain, j’espère que tu vas bien
Alors, dans ce petit exercice sur le nombre complexes (si tu es un Terminale S et tu les as vus, les nombres complexes), on a un nombre complexe z, non nul, noté
z= x + iy, et il s’agit d’exprimer 1 sur z, c’est à dire, autrement dit, l’inverse de z sous forme algébrique. Il faut exprimer ceci, notre inverse, en fonction de x et de y.
Alors, au début on te présente une notation, x + iy, on ne te dit pas juste que c’est égal à z, mais que c’est égal à x + iy. En fait c’est la forme la forme algébrique de notre nombre complexe, on appelé ça la forme algébrique;

C’est à dire ici la partie réelle, le petit x

et le y c’est la partie qu’on appelle imaginaire. C’est à dire, la partie juste qui est en facteur de i.

Je te rappelle aussi que la partie réelle et la partie imaginaire, parfois c’est aussi noté, a + i, ça dépend des notations, ce sont des nombres réelles. C’est à dire qu’ils ne comportent pas de i, il n’y a pas de i ni dans le x ni dans le y. Ca c’est important.
Si jamais tu trouves qu’il y a des i dans le x ou dans le y, alors la forme que tu as sous les yeux ce n’est pas la forme algébrique.

Donc la forme algébrique d’un nombre complexe, j’en profite pour faire un petit topo la-dessus; c’est vraiment la première forme que l’on voit d’un nombre complexe, sachant qu’il y en a deux autres, deux autres formes d’un nombre complexe, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.
Donc là il s’agit d’exprimer 1 sur z sous forme algébrique.
Donc c’est un exercice tout simple. C’est juste un exercice de calcul mais c’est important car les nombres complexes c’est un chapitre qui est très calculatrice. Les nombres complexes c’est beaucoup de calcul dans les exercices.

En fait, dès le début, dès que tu vois le cours, je t’encourage à faire plein de petites démonstrations là-dessus, des exercices de calcul sur les nombres complexes. Et là c’est un petit peu le cas.

Ce qu’on fait se de prendre notre 1/z et c’est parti, on essaie de voir un peu ce que ça donne pour à la fin obtenir notre forme algébrique.

Je repete bien qu’on veut la forme algébrique, donc a + ib. A+ iB si tu veux de notre nombre 1 sur z.

Donc là on exprime 1/z simplement d’après les données de l’exercice. C’est juste=

Je pense que tu seras d’accord avec moi, c’est la première transformation que l’on peut faire puisque y= x + iy

Donc là tu remarques qu’on arrive à du y dans le dénominateur. Donc là ce n’est pas terrible, il faut essayer de l’enlever du dénominateur pour qu’on obtienne cette fameuse forme algébrique qui ne contient pas de y au dénominateur.

Pour enlever le i du dénominateur il y a une technique qu’on emploi qui consiste à multiplier en haut et en bas par l’expression conjuguée du dénominateur.
Ceci c’est une technique très fréquente sur les nombres complexes et je pense que dans tous les exercices type BAC, tu as ce genre d’opération, il y a cette technique qu’il faut appliquer. Il faut multiplier en haut et en bas par le conjugué de notre dénominateur. Et c’est quoi le conjugé de notre dénominateur? Et bien c’est x -iy. Je te rappelle que dès que tu as un nombre complexe en forme algébrique, pour trouver le conjugué il suffit de mettre un moins (ou un plus si la partie imaginaire est négative), pour avoir le conjugué. C’est l’opposé de la partie imaginaire.
La partie imaginaire c’est ici y donc on met -y. C’est ça qu’on fait quand on veut prendre le conjugué d’un nombre complexe.
Donc on le fait, on multiplie en haut et en bas par ceci. Tu peux tout à fait mettre des parenthèses en haut et en bas.
Et là, c’est parti, on développe.

Donc on obtient:

Alors, si tu développes en bas, tu peux le faire à la main, tu vas tomber sur le module au carré d’un nombre complexe. En fait c’est aussi une petite démonstration que tu peux faire que je vais mettre en noire comme étant un petit rappel de cours.
Si tu as un nombre complexe noté z = x + iy, et bien, le module de z au carré sera égal au x au carré + y au carré. Tu vois qu’il n’y a plus de i là dedans et en plus c’est un nombre réel positif car c’est une somme de deux carrés.

Là, si tu développes, on peux le faire rapidement, si tu veux tu vas obtenir ceci. Mais en fait c’est un résultat que tu peux connaitre

module de z au carré ça donne le module au carré
Là, pour t’en convaincre, on va le faire…

(dénominateur)
Tu remarques une chose , c’est que ces deux termes là s’annulent, et il nous reste ici i2 y2 . -i au carré c’est 1 donc ça c’est + y2

Donc il nous reste tout simplement:

Donc là, ça y est, on va trouver notre forme algébrique, ça y est, il suffit juste de séparer notre fraction en deux, de la séparer en deux.
On va garder le , voilà, on a notre A , c’est notre partie réelle de notre 1/z

et derrière on a

– i

Le B n’est pas juste , c’est le moins aussi…c’est tout ça , sans le i

Parce que une partie imaginaire, B, ne comporte pas de i, c’est un nombre réelle. Et d’ailleurs on le voit bien que c’est un nombre réelle puisque tu as de x et du y, x et y étaient des nombres réelles, on l’a précisé au début et donc x2 et y2 aussi.

Donc ça y est, on a obtenu la forme algébrique de notre complexe z
Donc tu as vu que pour le faire on a dû enlever le i du dénominateur et pour ce faire on a employé un technique très classique, très utilisé. Et on a multiplié en haut et en bas par le conjugué du dénominateur. Et en fait, plutôt que de redévelopper ici, à chaque fois, à la main. (Ici on l’a fait pour l’expliquer). Tu pouvais dire directement qu’on obtient le module au carré, le carré de la partie réelle plus le carré de la partie imaginaire.

x2 + y2

Ca t’évite en fait de faire trop de calcul quand tu connais ce résultat-là, ici présent.
Voilà pour les petites techniques de calcul dans les nombres complexes.

Je répète bien, le chapitre des nombres complexes il y a beaucoup de calcul. Donc dès que tu vois le cours de nombres complexes il faut que tu t’entraines à faire des petites démonstrations comme celle-ci. Il y en plein comme celle-ci.

Tu vois, par la même, on a démontré ici ce que j’avais noté ici en noir en développant. On a démontré une propriété des modules complexes en développant. C’est à dire, que le produit d’un nombre complexe par son conjugué ça donne son module au carré.

Voilà, je voulais vraiment te faire part de cette petite philosophie des nombres complexes. Entraine-toi dans les nombres complexes et tu verras que les exercices de ce chapitre te paraitront plus faciles.