Terminale S Centre de symétrie d’une courbe

Comment démontrer qu’un point du plan est un centre de symétrie de la courbe de la fonction que tu es en train de considérer ?
Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui, il va falloir montrer que le point i de coordonnées (1;2) dans un repère orthonormé est un centre de symétrie de la courbe de la fonction f qui est définie de la façon suivante : f(x)=(x²-3)/(x-1).
Alors, la première chose à regarder lorsque tu étudies une fonction, c’est toujours son ensemble de définition. Et tu vois bien qu’ici l’ensemble de définition de la fonction f est déterminé par son dénominateur en fait. Il faut tout simplement éviter que ce dénominateur qui est (x-1) soit égal à 0.
Donc en fait, quand on étudie l’ensemble de définition de f que je vais noter Ef, et bien il faut qu’on ait x-1 différent de 0, donc tout simplement x différent de 1. Donc l’ensemble de définition c’est tout simplement l’ensemble des réels auquel on soustrait l’ensemble constitué du nombre 1 : R\{1} (quand on est dans les ensembles, le moins est penché).
Ça veut dire tout simplement que tu enlèves à l’ensemble des réels le nombre 1. Ça se note aussi tout simplement ]-l’infini;1[ U ]1;+l’infini[. C’est exactement la même chose. Donc là, on a bien déterminé l’ensemble de définition de la fonction f.

Maintenant il va falloir démontrer que le point I de coordonnées (1;2) est un centre de symétrie de la courbe de f. Alors déjà tu peux penser peut-être qu’il va s’agir de résoudre cette question d’une manière géométrique, d’une manière graphique. En fait, non, plutôt que ça, il va falloir que tu démontres ceci analytiquement c’est-à-dire en utilisant l’expression f(x). Il va falloir démontrer ceci avec le f(x) et avec des calculs plutôt que géométriquement.
Alors comment on va démontrer que le point I de coordonnées (1;2) est un centre de symétrie de la courbe de f ?
Alors déjà, première chose de laquelle il faut s’assurer, c’est que l’ensemble de définition de la fonction f est lui-même symétrique par rapport à l’abscisse du point I qui est xI=1. En fait il n’y a pas de problème puisque cet ensemble est bien symétrique par rapport à 1. Tu vois il y a « autant de nombres » à gauche de 1, dans cet ensemble de définition de f, qu’à droite de 1.
Donc ça c’est une première précaution à prendre avant de se lancer dans la démonstration analytique de ceci.

Donc ça je te l’ai dit oralement mais comment on va démontrer ça ? Et bien en fait il va falloir considérer les deux quantités suivantes : f (1-x) et f (1+x).
On va regarder très rapidement sur un schéma comment il va falloir étudier ces deux quantités et lesquelles elles sont déjà avant de les étudier. Et lorsque que tu vas calculer les deux images de ces deux nombres, 1-x et 1+x, par la fonction f, donc f(1-x) et f(1+x), il faut aussi que tu aies x qui soit positif.
Alors je vais tracer rapidement un repère orthonormé, donc deux axes, pour te donner une idée de pourquoi il faut considérer ces deux nombres dans la démonstration. Donc deux axes, x et y, d’un repère orthonormé dans lequel tu pourrais tracer la courbe de f. Dans ce repère on peut également placer le point I de coordonnées (1;2). Donc je te propose de le faire tout de suite si tu mets l’unité ici et on va placer le point I. il est de coordonnées 1 sur x et 2 sur y donc il est ici.

Alors maintenant, considérons ces deux quantités : f(1-x) et f(1+x). Alors moi je vais prendre tout simplement 1-x donc ici par exemple. Ça veut dire que entre 1-x et 1 ici, tu vas avoir la quantité x qui je te le rappelle est positive et c’est bien pour ça que 1-x est en-dessous de 1 parce que si x était négatif, 1-x serait au-dessus de 1.
1+x ça va être ici à peu près. Et ici tu as toujours la même « distance » qui est x. Donc ici je peux faire figurer deux longueurs égales qui sont celle-ci et celle-ci.
Alors maintenant il va falloir considérer les images de ces deux nombres 1-x et 1+x, c’est-à-dire f(1-x) et f(1+x). Et donc, en considérant les images de 1-x et 1+x, respectivement, tu vas obtenir deux points géométriques en deux dimensions : le premier point d’abscisse 1-x et d’ordonnée f(1-x) et le deuxième point d’abscisse 1+x et d’ordonnée f(1+x).
Et ces deux points sont sur la courbe de f par définition puisque tout simplement tu vois, il y a un nombre en entrée et l’ordonnée de ce nombre c’est f de ce nombre. Donc forcément le point de coordonnées (le nombre ; f de ce nombre) il est sur la courbe de f. Et il faut que ces points en deux dimensions que tu obtiens soient symétriques par rapport à I.
Donc ça veut dire par exemple que si je place f(1-x) ici. Ici ce sera le point en deux dimensions (1-x ; f(1-x)). Là tu vas retrouver son abscisse 1-x et ici son ordonnée f(1-x).

Alors de quelle façon il faudrait placer le deuxième point en deux dimensions dans ce repère orthonormé d’abscisse 1+x donc forcément sur la droite verticale passant par ce point-là, et d’ordonnée f (1+x) ?
En fait il faudrait que tu construises son symétrique à ce point, qu’on peut appeler P. Il faut que tu construises le symétrique de P par rapport à I. C’est parti. Voilà donc là j’ai construit la droite passant par P et I. Et en fait, le symétrique de P par rapport à I, et bien c’est ce point-là. Donc ici, tu vas avoir les deux longueurs égales qui sont PI et IP’. On va noter ce point P’.
Voilà. Et ce point P’, il a pour abscisse 1+x et pour ordonnée f(1+x). Donc ici, tu vas obtenir f(1+x), ça va être vers 1 ici.
Voilà donc là je t’ai dessiné deux points, le point P et le point P’, qui appartiennent à la courbe de la fonction f et il faut absolument qu’ils soient placés comme ceci parce que comme ceci ils vérifient bien la symétrie par rapport au point I.

Et pour démontrer que le point I de coordonnées (1;2) est un centre de symétrie de la courbe de f, il faut que ceci marche pour tous les points de la courbe de f, donc il faut que ça marche pour tous les x supérieurs à 0.
Donc ça veut dire qu’en s’écartant de 1 vers la gauche, donc en prenant un 1-x avec x quelconque mais positif, tu t’écartes à droite du point 1 avec l’abscisse 1+x. Donc ça veut dire que tu obtiens deux points 1-x et 1+x de part et d’autre de 1 qui est au milieu.
Et donc en partant de ces deux points, 1-x et 1+x, il faut que tu obtiennes deux images, donc respectivement f(1-x) et f(1+x), qui soit symétrique cette fois-ci, non pas par rapport à 1 mais par rapport à 1 qui est l’abscisse du point I mais par rapport à 2 cette fois-ci puisque f(1-x) et f(1+x) sont des y en fait. Donc il faut que tu les compares à 2.
Et il faut tout simplement que f(1-x) soit à égale distance de 2 que f(1+x). Il faut que 2, si tu veux, soit au milieu de f(1-x) et f(1+x).

J’espère que tu comprends ce principe qui va nous permettre de bien démontrer que ce point I de coordonnées (1;2) est un centre de symétrie de la courbe de f.
Tu vois, en fait ça veut dire que pour n’importe quels points P et P’ construits de cette façon, il faut que P’ soit le symétrique de P par rapport à I. voilà, donc construit de cette façon c’est-à-dire que P a pour abscisse 1-x et pour ordonnée f(1-x) et P’ a pour abscisse 1+x et pour ordonnée f(1+x). C’est x qui fait bouger le point P et le point P’ et il reste positif.
Voilà, donc comment démontrer analytiquement que l’ordonnée du point 9 est au milieu de f(1-x) et f(1+x), qui sont je te le rappelle ces deux quantités-là : ici tu as f(1-x) et ici f(1+x). Tu vois bien que 2 est ici à peu près. Et bien 2 est au milieu de ces deux gros points bleus.
Donc en fait, il va falloir démontrer que (f(1-x)+f(1+x))/2 , c’est-à-dire en fait la moyenne de ces deux nombres, est égale à yI, en l’occurrence, c’est 2. C’est ce qu’il va falloir démontrer. On ne le sait pas encore mais l’exercice nous demande de démontrer cette égalité.

En fait le plus dur dans cet exercice, c’est de comprendre pourquoi il faut démontrer cette égalité. Après ce n’est que du calcul. On va effectivement démontrer que ça, c’est vrai, qu’on a bien l’égalité : (f(1-x)+f(1+x))/2=2
Mais avant de passer au calcul, d’ailleurs il faut savoir quel calcul faire, et bien il faut que tu comprennes le principe de cette démonstration. C’est pour ça que je te fais toute cette explication.

Centre de symétrie d’une courbe
Vidéo 2/2
Démonstration : il ne reste plus que le calcul! C’est le plus facile

Donc à présent, une fois que tu as bien compris le principe de démonstration et bien c’est parti, nous allons démontrer analytiquement ceci, c’est-à-dire que le point I de coordonnées (1;2) est bien un centre de symétrie de la courbe de f.
Donc, ce qu’il va falloir faire, peut-être que tu sais déjà le faire… Si c’est le cas, je t’encourage à regarder seulement cette vidéo et pas la précédente. Donc ce qu’il va falloir faire pour démontrer ceci analytiquement, c’est la chose suivante :
Tu prends un x strictement positif : pour x strictement positif, tu vas démontrer la chose suivante : f(1-x)+f(1+x), le tout sur 2… En fait, considère que ce calcul un peu compliqué, c’est le calcul de la moyenne entre ces deux nombres, f(1-x) et f(1+x), tu vois, ça prend le milieu en fait ce calcul là. Et ça, il faut que tu démontres que c’est égale à l’ordonnée de I, c’est-à-dire 2. Ça, c’est ce qu’il faut démontrer donc je mets un point d’interrogation.
Alors peut-être que dans la vidéo précédente j’avais fait une petite erreur puisque j’avais mis que x devait être positif ou nul. Tu vois j’avais mis x supérieur ou égal à 0. EN fait ici, il faut absolument prendre la précaution suivante, il faut que x soit strictement positif. Tout simplement parce que si x égal 0 ici tu obtiens f(1) et ici aussi. Or f n’est pas définie pour x=1. Tu vois son ensemble de définition c’est R moins 1. Donc c’est important ici qu’on n’ait pas x=0. C’est un détail mais c’est important quand même de le noter.

Voilà donc c’est parti maintenant il suffit juste de calculer cette quantité et de montrer qu’elle vaut 2.donc on va remplacer ici x par 1-x pour calculer f(1-x). Donc c’est parti. On va obtenir :
((1-x)²-3)/(1-x-1)+((1+x)²-3)/(1+x-1). Et tout ceci tu le divises par 2.donc ça fait une construction un peu à étage. En fait, ce que tu pourrais faire pour avoir un calcul un peu plus progressif, c’est de calculer f(1-x) indépendamment, ensuite f(1+x) et ensuite tu fais la moyenne des deux résultats obtenus. Donc là on fait tout de suite le gros calcul mais sur ta copie tu pourrais séparer les choses, pour toi et pour ne pas faire d’erreur de calcul. Donc ici on va obtenir :
« Calcul mathématique »
On a presque les mêmes dénominateurs donc ça ne va pas être difficile d’ajouter ces deux fractions. Donc en fait, il va s’agir de mettre le moins, ici ce moins, on va le passer au-dessus. De cette façon on va avoir le même dénominateur. Et le deux on va le passer au dénominateur donc on va avoir 2x au dénominateur. Donc c’est parti, on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc finalement tu obtiens 4x/2x. Et tout ceci ça fait 4/2, donc 2.

Donc là tu as terminé la démonstration. Tu vois, il s’agissait juste de faire ce calcul pour bien résoudre cet exercice mais je préférais t’expliquer avant pourquoi on fait ce calcul. Parce que c’est le plus compliqué en fait : savoir qu’il faut démontrer cette égalité, c’est le plus difficile. C’est pour ça que j’ai pris le temps dans une première vidéo de t’expliquer cela.
En fait il s’agit de calculer les ordonnées de deux points qui sont de part et d’autre de l’abscisse de x. Donc tu prends 1-x et 1+x, de part et d’autre de 1, donc à la même distance. C’est la distance x, c’est ce x positif là. Et après tu calcules les images de ces deux points. Et ces images il faut qu’elle soit de part et d’autre de 2 cette fois, à égal distance. La première image va peut-être être au-dessus de 2, la deuxième au-dessous de 2 mais à une même distance de ce point 2 sur l’axe vertical, l’axe des ordonnées.
Voilà ce qu’il faut démontrer et ceci pour tous les x positifs. J’espère que tu as bien compris cet exercice et je te dis à la prochaine sur star-en-maths.tv.