Terminale S
Fonctions trigonométriques
Comment dresser le tableau de signe d’une fonction trigonométrique avec un cosinus ?
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Signe d’une première fonction avec un cosinus
– Comment tu ferais ça toi ? Comment tu abordes ça en général ?
– Euh déjà, je résous le calcul. Je ne sais pas comment on dit.
– Ouais Ok, tu résous l’inégalité par exemple f(x) supérieur à 0.
– Oui voilà.
– Oui ben voilà, tu le disais bien, tu résous le calcul, tu dois dire, supérieur ou inférieur à 0. Et ça, ça te fournit les x tels que f(x) est de signe +.
Ça te dira quand c’est de signe « + ». Ça veut dire que le reste, c’est de signe « -« .
Alors, comment tu résous ça ? On l’écrit, on remplace f(x) par ce que c’est : -2cosx + racine de 3, supérieur ou égal à 0.
Qu’est-ce que tu ferais après ?
– Ben je mets le racine de 3 de l’autre coté, et après, pareil pour -2.
– Ok, ça marche, et donc tu trouves quoi ?
– Du coup je trouve cos(x) inférieur ou égal à racine de 3 sur 2.
– Ensuite, je ne sais pas si c’est ça que vous faites en classe, je pense que c’est ça. A mon avis, ce qu’il faut faire c’est tout simplement dessiner un cercle.
Donc on dessine le cercle. Ah, il est super moche, comme d’habitude, mais en fait ce n’est pas très grave. EN fait le but, c’est de comprendre l’idée. Ensuite on place le racine de 3 sur 2.
Alors, vu qu’on le compare à un cosinus, la racine de 3 sur 2, on va le mettre sur quel axe ?
– L’axe des abscisses.
– L’axe des cosinus, l’axe des x, ça marche. Donc le racine de 3 sur 2, c’est une valeur qui est assez grande, proche de 1 en fait. Je crois que c’est 0,8 et quelques. Donc on va être par là.
C’est d’ailleurs le cosinus de quel angle ? Je fais des pointillés, ça ne va pas être très précis ici mais on va quand même pouvoir deviner. Tu vois, quel angle a comme cosinus racine de 3 sur 2 ?
– Je ne sais pas du tout comme ça.
– Tu ne sais plus ? Alors ce n’est pas Pi sur 4, Pi sur 4 c’est racine de 2 sur 2. En fait, c’est pi sur 6. Tu vois, ce petit angle. Et son sinus, c’est 1/2, tu vois on arrive au milieu de l’axe des y. Par contre son cosinus c’est un grand nombre, c’est racine de 3 sur 2. Ça va ? Tu vois ce que je veux te montrer?
– Ouais.
– Alors maintenant, quels sont les cosinus qui sont inférieurs à racine de 3 sur 2. Racine de 3 sur 2 je vais le faire apparaitre. Et bien tu vois, tu prends ton stylo et inférieur ou égal, et bien c’est tout ça.
Tu es d’accord ? Qu’est-ce que tu en penses ? Voilà, on n’est pas mal.
Et alors, il dit « il ne faut pas un moins au racine de 3 sur 2 ? » Et bien non, le racine de 3 on l’a passé de l’autre coté, ça fait moins racine de 3 et moins racine de 3 sur moins 2 ça fait racine de 3 sur 2. Et vu qu’on a divisé par -2, on a changé le supérieur en inférieur.
Et donc, quels sont les angles qui correspondent à un cosinus comme en vert ici ? Qu’est-ce que tu dirais ?
– Et bien, c’est le grand cercle, je ne sais pas comment dire.
– Oui je vois ce que tu veux dire, cette partie là quoi. La grosse part du gâteau. Je commence à te comprendre Lisa, toi tu veux la grosse part du gâteau et tu me laisses la petite. bon ça marche, j’accepte mais juste pour cette fois.
Donc on part de pi sur 6, tous ces angles là, on les prend, et on arrive là, à quel angle ? tu vois, tu es arrivée à pi, à 3pi sur 2 ici, là c’était pi sur 2. C’est quoi le dernier point en rouge ?
– C’est moins pi sur 6.
– Oui mais nous, il faut qu’on se place entre – pi et pi. tu vois, ça veut dire que tu pars de moins pi. tu vois ce n’est pas égal, mais ils sont à 2 pi près. Tu vois, il y a deux pi entre les 2.
Donc toi, tu pars de moins pi, c’est là que ce n’est pas évident les fonctions trigonométriques, il faut bien comprendre le cercle en fait. Donc tu pars de moins pi, tu avances, donc tous ces angles tu les prends, et là, tu me dis ok, on va jusqu’à moins pi sur 6, inclus.
Tu vois ça va être ça nos solutions. Et après, il faut continuer, union, on reprend là-haut, tu vois, de pi sur 6 jusqu’à pi.
Je pense que tu as compris là.
Mais nous en fait on veut le signe. Donc en fait, il faut quand même faire un tableau de signe à la fin. Donc tu fais moins pi, pi. Tu mets le x, le f(x), tu mets le moins pi sur 6 et le pi sur 6.
Là, ça s’annule pour ça, et là tu auras plus, et là tu auras moins.
En fait, ce qu’il suffit de faire pour voir si on ne s’est pas trompés, c’est possible qu’on se soit trompés, ce qu’il suffit de faire, c’est tracer la fonction sur ta calculatrice. Je ne sais pas si tu en as une près de toi. Sur ta calculatrice, tu dessines f(x). Donc je le fais en même temps.
J’espère que ta calculatrice est bien en radians, je ne sais pas si tu sais faire ça.
– Je crois que oui.
– Et tu la dessines sur un axe des x qui va de moins pi à pi. Ça donne un truc comme ça quoi. Et l’axe des abscisses comme ça. Là on aurait moins pi sur 6, là 0. Donc c’est bien plus, moins, plus.
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Fonctions trigonométriques
Comment dresser le tableau de signe d’une fonction trigonométrique avec un cosinus ?
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Signe d’une deuxième fonction avec un cosinus
Ici, on cherche le signe de f(x). Une façon de faire ça, c’est de résoudre l’inéquation f(x) supérieur à 0, c’est-à-dire f(x) plus.
Donc ça, ça te donnera les x pour lesquels tu auras les plus et le reste des x, ce sera les x pour lesquels f(x) sera moins.
Donc c’est une technique pour trouver le signe d’une équation, c’est tout simplement de résoudre l’inéquation.
Donc Lisa, même principe, f(x) supérieur ou égal à 0, sachant que tu pourrais très bien faire l’inverse, f(x) inférieur à 0, c’est un choix, tu fais ce que tu veux.
Et donc on garde ça, supérieur ou égal à 0, ça va équivaloir à moins 2 cos(x) moins racine de 2 supérieur ou égal à 0.
Donc on passe le moins racine de 2 à droite, en ajoutant plus racine de 2 à gauche et à droite, ça ne change pas le sens de l’inégalité.
Et ensuite on divise par -2 à gauche et à droite. Là par contre, il faut changer en inférieur ou égal puisqu’on divise par -2 qui est négatif.
Donc ça va donner cos(x) inférieur ou égal à moins racine de 2 sur 2.
Et là, moins racine de 2 sur 2, tu essaies de voir, un petit peu comme on a fait, ce que ça donne sur le cercle.
Et là, ça va rejoindre l’angle donc ‘il’ me parlait tout à l’heure. Alors déjà il faut placer le moins racine de 2 sur 2 en cos. IL va être par là. Hop, je monte, je descends.
Du coup on va arriver à ces deux angles-ci. Alors tu dirais qu’on a quoi ici ? Qu’est-ce que c’est que ce premier angle en bleu ?
– je ne sais pas.
– Tu ne sais pas trop, alors déjà, racine de 2 sur 2, je le place ne positif, ça va être là. C’est des valeurs de sinus et cosinus qu’il faut tu connaisses Lisa, le tableau là.
Cet angle rouge, on a divisé l’angle droit en combien à ton avis ? C’est assez net sur mon dessin.
– Ah donc c’est pi sur 4.
– Ouais, c’est ça, c’est pi sur 2 sur 2, donc c’est pi sur 4. Donc de l’autre coté, tu avances encore de pi sur 4 tu arrives là, et encore de pi sur 4 tu arrives là. Donc c’est 3 pi sur 4. Donc voilà, j’enlève les trucs rouges.
Donc là on est à 3 pi sur 4 et en bas on est à moins 3 pi sur 4 si tu veux. Ou tu peux le compter en positif, dans l’autre sens, ce serait 5 pi sur 4.
Voilà, maintenant on résout notre inéquation, on veut un cosinus qui soit inférieur à ça. Ben il n’y en a pas tant que ça ici.
Je vais les faire en vert. Ça va correspondre à ça. Là on est bon. On va tracer encore une fois après la fonction sur la calculatrice.
Bon après il faut encore trouver les valeurs. Si on part encore une fois de moins pi, on va jusque là, c’est-à-dire jusqu’à moins 3 pi sur 4. On ne va pas prendre 5 pi sur 4 puisque ce n’est pas dans moins pi ; pi. C’est supérieur à pi.
On ne prend pas toutes ces valeurs bleues après et on reprend là, et on va jusqu’à pi.
Voilà, donc on fait notre petit tableau de signe. On fait x : moins pi, jusqu’à pi. Les « valeurs charnières », les valeurs de changement de signe, c’est moins 3 pi sur 4 et 3 pi sur 4.
Et on met le f(x), on met les valeurs pour lesquelles ça s’annule. En fait ça s’annule puisque le cosinus de moins 3 pi sur 4 c’est moins racine de 2 sur 2. Tu peux remplacer x ici par moins 3 pi sur 4 et tu vas trouver moins racine de 2 sur 2.
Et quand tu multiplies par -2, ça va donner racine de 2. Et racine de 2 moins racine de 2, ça donne bien 0. Et pareil pour 3 pi sur 4. C’est pour ça que ça s’annule ici.
Et là on avait dit positif, on avait résolu notre inéquation positif, on va trouver les valeurs noires : je vais le mettre en noir d’ailleurs : plus, plus, et au milieu et bien c’est un moins.
