Terminale S Dérivée d’une fonction trigonométrique

Comment dériver une fonction un petit peu complexe qui comporte des sinus et des cosinus ?

Bonjour à toi et bienvenue sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons calculer la dérivée de la fonction suivante : la fonction f qui a x associe f(x)=sin(3x)-sinus cube de x
Avant de s’engager dans le calcul de f’, je t’encourage vraiment à considérer sur quel ensemble tu peux dériver la fonction f. tu vois, de la même façon que lorsque tu étudies une fonction, tu étudies avant tout son ensemble de définition. Et bien là, c’est à peu près la même chose, il faudrait quand même qu’on étudie l’ensemble de définition de f (on va le faire oralement) et également l’ensemble sur lequel elle est dérivable.
Alors, déjà l’ensemble de définition de la fonction f, et bien c’est R. C’est-à-dire que tu peux calculer l’image de n’importe quel nombre réel tu vois. Tu peux prendre n’importe quel nombre réel x et tu pourras calculer f(x).ça, ça prouve bien que l’ensemble de définition de f c’est R, l’ensemble des réels. En effet, tu as ici des fonctions, enfin la fonction trigonométrique sinus et ici tu as des composés de fonction faisant intervenir la fonction sinus.
Par exemple, on peut tout à fait considérer que cette première sous-fonction ici… puisque notre fonction f comporte deux sous-fonctions, c’est une somme de deux sous-fonctions et la première sous-fonction c’est sinus de 3x. Et sin(3x) c’est la composée de deux fonctions : (uov)(x) c’est comme ça que ça se note la composée de 2 fonctions. Sachant que le u(x) c’est sin(x) (première fonction intervenant dans cette composée de fonctions). Et la deuxième c’est v(x)=3x.
Donc ça, ce sont vraiment les deux fonctions intervenant dans cette première sous-fonction qui est donc une composée de fonctions. C’est un peu compliqué à dire. Tout ça nous sert à dire que l’ensemble de définition de cette sous-fonction c’est R parce que 3x est définie sur R et tu peux également calculer le sinus d’un nombre pour n’importe quel nombre. Donc tu peux calculer le sinus de 3x, c’est-à-dire le (uov)(x) pour n’importe quel x.

ET tu ferais exactement le même raisonnement pour la dérivabilité. C’est-à-dire que la fonction ici v est dérivable sur R. la fonction u l’est aussi. Donc la fonction uov est aussi dérivable sur R. Donc on n’a pas de problème de dérivabilité pour cette première sous-fonction, elle est vraiment dérivable sur l’ensemble entier des réels c’est-à-dire R.
Et ce serait exactement le même raisonnement pour cette deuxième sous-fonction qui est moins sinus cube. Cette deuxième sous-fonction peut être aussi considérée comme une composée de deux fonctions. Donc ça va être toujours (uov) mais avec un u et un v qui sont deux fonctions différentes. -sinus cube (x) peut être considérée comme un (uov)(x). La première, ça va être u(x)=-x au cube. Et v(x)=sin(x)
Ici tu vois quand tu remplaces dans u(x)=-x au cube, tu remplaces x par v(x) c’est-à-dire par sinus de x, et bien tu obtiens bien moins sinus cube x. J’espère que tu comprends bien cette petite opération ici qui est vraiment la composition de fonctions.
ET donc avec un raisonnement similaire que ce qu’on a dit précédemment, et bien tu démontrerais que l’ensemble de définition premièrement de cette sous-fonction, et bien c’est R. C’est-à-dire que tu peux calculer cette image pour n’importe quel x, ce -sinus cube (x), tu peux le calculer pour n’importe quel x. Et deuxième chose, tu peux dériver cette fonction -sinus cube sur R.
Donc on vient de démontrer que chacune de ces deux sous-fonctions qui sont des termes en fait dans la somme qui compose f(x), et bien chacune de ces deux sous-fonctions sont dérivables sur R. Donc f est dérivable sur R également car une somme de deux sous-fonctions qui sont dérivables chacune sur R et bien ça donne aussi une fonction dérivable sur R. Donc voilà, c’est vraiment la première chose de laquelle il faut t’assurer avant de t’attaquer au calcul de la dérivée. Il faut savoir sur quel intervalle c’est dérivable. C’est ce qu’on vient de faire.

Alors maintenant, on va dériver f donc on va calculer f'(x) et on va prendre un x qui appartient à l’ensemble des réels. Tu vois, et là on va pouvoir noter vraiment f'(x) et le calculer ensemble. Et pour ce faire on va vraiment utiliser les petites formules que l’on connait sur la dérivation des fonctions.
Alors comme je te disais ici, tu vois que chacune de ces deux sous-fonctions qui composent la somme (c’est une différence mais une différence c’est une somme) qu’est f(x) (puisque f(x) est une somme de deux sous-fonctions), et bien chacune de ces deux sous-fonctions est une composée de fonctions. Alors on va utiliser plusieurs règles pour dériver f. On va d’abord utiliser la règle suivante qui est que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées de chaque sous-fonction. Donc on va être amené à dériver chacune de ces deux sous-fonctions : d’abord sin(3x) et ensuite -sinus cube de x.
La deuxième règle, et bien ça va être la règle que je vais te noter qui est la règle de la dérivée d’une composée de deux fonctions, c’est-à-dire la dérivée de uov. Donc je vais te la rappeler ici en noir. La notation de la dérivée de (uov) c’est (uov)'(x) et c’est égal à (il faut vraiment que tu connaisses cette formule) (uov)'(x)=u'(v(x))*v'(x). Tu retrouves toujours en tant que fonction dérivée la première fonction qui intervient dans la composée de fonction, c’est-à-dire u. Donc tu retrouves u’. Et il faut le multiplier par la dérivée de ce qu’il y a à l’intérieur ici donc fois v'(x).
Donc nous on va utiliser cette formule et on va l’appliquer en fait à chacune des deux sous-fonctions. On va utiliser une autre connaissance que tu as : c’est que la dérivée de la fonction trigonométrique sinus, c’est cosinus. Donc ici je mets sin’=cos. Tu vois ça peut se noter sans les x aussi. Voilà donc ça ce sont deux informations qu’on va utiliser sachant qu’on utilise aussi avant tout la première règle que je t’ai rappelée oralement qui est que la dérivée d’une somme de fonctions, c’est la somme de chaque dérivée.

Donc c’est parti, on va calculer la dérivée de cette première sous-fonction : ici notre u c’est sinus, notre v c’est la fonction qui a x associe 3x. Donc on va utiliser cette formule. Ça va être u'(v(x)), c’est-à-dire cos(3x). Voilà donc là tu obtiens ton u'(v(x)). Et il ne faut pas oublier de multiplier par le v’ de x, donc par la dérivée de v(x) qui est 3. Donc cos(3x)*3. Ça c’est notre première sous-dérivée. C’est la dérivée de cette fonction-là.
Ensuite on va dériver -sinus cube de x. Et on va utiliser cette première formule en noir ici et également cette information ici. Alors déjà u'(x), ça va être quoi ? Et bien ça va être -3x² puisque la dérivée de u ici ça va être -3x². Tu sais dériver ce genre de terme. Tu passes l’exposant devant, donc le 3, on obtient -3x et l’exposant c’est non plus 3 mais 3-1 donc -3x². Donc tu vas obtenir -3 (…)² et à la place du x c’est quelque chose : notre v(x). Et le v(x) c’est sin(x) donc -3(sin(x))².
Et il ne faut pas oublier de multiplier par v'(x) et le v'(x) c’est tout simplement ici la dérivée de sinus. Donc cos(x), fois cos(x). Et donc là tu obtiens ta deuxième sous-dérivée qui est tout ceci : -3(sin(x))²*cos(x). C’est la dérivée de tout ce terme-là.

Donc maintenant on va nettoyer un petit peu ça. Et on va obtenir : f'(x)=3cos(3x)-3sin²(x)*cos(x). sin(x)² tu peux le noter sin²(x), c’est une autre façon de le noter. Et il n’y a pas vraiment besoin de parenthèses mais tu peux en mettre.
Donc voilà, on vient de calculer la dérivée de notre fonction et c’est terminé pour cet exercice. ET on encadre le résultat comme d’habitude. Alors dans un problème tu aurais très probablement à étudier le signe de la fonction dérivée. Parce que je te rappelle qu’en mathématiques, calculer la fonction dérivée, ça ne sert pas à rien. Ça sert à étudier les variations de la fonction f. mais pour pouvoir étudier les variations de la fonction f à partir de la dérivée f'(x), il faut pouvoir étudier le signe de f'(x).
0r là, étudier le signe de cette chose, de toute cette expression, ce n’est absolument pas facile. Donc souvent, on met f'(x) sous la forme d’un produit. Alors là on ne va pas le faire mais c’est vraiment quelque chose que j’ai envie de te dire ici, c’et que f'(x) généralement, dans un problème, tu ne le laisserais pas comme ça. Tu essaierais de le transformer. Donc ici grâce à tes connaissances des formules trigonométriques, tu essaierais de transformer tout ceci en un produit plutôt que de le laisser comme une différence ici. Parce qu’il est plus simple d’étudier le signe d’un produit que d’une somme ou une différence de choses, de termes.

Donc voilà pour cet exercice. J’espère que tu as bien compris la démarche. Première chose tu étudies pour quel ensemble ta fonction est dérivable. Donc ici c’est R puisqu’il n’y a aucun problème, toutes ces fonctions sont définies et dérivables sur R.
Et ensuite, deuxième chose, tu dérives en utilisant tes connaissances sur les dérivées. Donc ici la formule de la dérivée d’une composée de fonctions. Et ici la dérivée de la fonction sinus.
Je te dis à très bientôt sur star-en-maths.tv.