Terminale S Etudier la derivabilité d’une fonction avec une racine carrée

-tu vois tu as une courbe de fonction, comme ça. Est-ce que tu te souviens de ce que c’est le f'(a) ?
– C’est le coefficient directeur de la tangente.
– exactement, c’est bien. Je peux mettre un repère orthonormé mais peu importe. Là on est dans un repère orthonormé.
Le f'(a), on se souvient que c’est ce qu’on appelle le nombre dérivé de f en a et c’est aussi le coefficient directeur, comme tu me l’as dit, d’une droite, mais pas n’importe quelle droite.
Si je prends un a n’importe où, par exemple là. Et bien c’est le coefficient directeur de la tangente à la Courbe de f en a. C’est ce que tu voulais dire je pense.
Voilà donc ça c’est la tangente en a, on va mettre Ta et f'(a) c’est le coefficient directeur de cette droite.

Bon voilà, là on a précisé les choses, et cette notion de dérivabilité, ça vient de ceci : Tu te souviens que f'(a), ça n’existe pas toujours parce que f'(a), on vous l’a présentée comme ça à la base en première S, c’est la limite quand s tend vers a, de f(x)-f(a) sur x-1.
Ça te dit quelque chose j’imagine. Ça c’est la définition de f'(a). En fait c’est égal à f'(a) mais le problème c’est que ça n’existe pas toujours une telle limite parce que des fois, la limite elle vaudra plus l’infini. Et tu vois f'(a) c’est un nombre fini.
Donc des fois cette limite elle n’existe pas. Donc ça c’est égal à f'(a) quand ça existe. Donc là je vais mettre « quand cette limite existe ».
ET ça veut dire que si ça existe, alors là, oui tu peux dire ma fonction est dérivable en a.

Donc toi tu as une question là-dessus, tu veux démontrer par exemple que ta fonction f est dérivable en 1. Tu vois c’est la question de ton DM je crois.
Donc, comment tu répondrais à ça ? Et bien ce qu’il faut que tu fasses, c’est calculer la limite, quand x tend vers 1 de f(x)-f(1) sur x-1.
Et je vais te montrer graphiquement puisque j’avais commencé graphiquement les choses, je vais te montrer graphiquement à quoi ça correspond une fonction qui n’est pas dérivable en un point.
Est-ce que tu te souviens un petit peu de la courbe de la fonction valeur absolue ?
– oui, c’est un V.
– Oui voilà, c’est un V qui est au-dessus de l’axe des abscisses, je t’invite vraiment à t’en souvenir puisque c’est une fonction de référence qu’on utilise plutôt en première mais ça peut revenir parfois en Terminale et parfois utile en physique chimie aussi.
Donc y, x et je ne sais pas je vais la faire en orange et regarde, c’est ça la valeur absolue. Et donc est-ce que tu pourrais me dire sur cette partie gauche du repère orthonormé, combien valent les f'(x) ? Parce qu’en fait ils valent tous un nombre constant. Quels sont les coefficients directeurs, en fait il n’y a qu’une tangent à cette courbe de la valeur absolue.
Regarde, si tu traces la tangente, à gauche, de la courbe orange.
– C’est sur la droite.
– Voilà, ça va être la même droite en fait. D’accord, je peux tracer la tangente par exemple en rouge, d’accord si je la trace toujours en a, de toute façon la tangente c’est cette droite là. Et quel est son coefficient directeur ? Tu te souviens que la valeur absolue c’est y=x dans les positifs et y=-x à gauche. Donc le coef directeur et bien c’est -1 à gauche.
– pourquoi -1 ?
– Et bien parce que tu te souviens que le coefficient directeur c’est le nombre qu’il y a devant le x dans une équation de droite.
– Ah oui d’accord
– Et quand tu te rapproches, quand tu prends un a qui se rapproches de 0, bref qui tend vers 0-, le coefficient directeur de la tangente obtenue ce sera toujours -1, donc là, tous les f'(x) valent -1 à gauche.
Et à droite, ils valent combien ? Si je prends une tangente, n’importe où, ils valent 1. Donc là, les f'(x) valent 1.

Ça veut dire que quand tu calcules cette limite que j’ai mise en bleu ici à droite, pour 0 ce n’est pas quand x tend vers 1 mais quand x tend vers 0 dans le cas d’une valeur absolue. Et bien tu vas voir que cette limite elle n’existe pas, parce qu’elle vaut -1.
On peut le calculer si tu veux : limite quand x tend vers 0 de valeur absolue de x. tu te rappelles valeur absolue il y a 2 cas. Quand x est positif, valeur absolue de x vaut x, donc ça va donner :
« Calcul mathématique »
Donc ça fait 1 mais ça, il faut quand même le préciser, c’est quand x est positif. Quand x tend vers 0+
Donc ça c’est le premier cas. En fait il faut diviser ton calcul de limite en 2. Là tu trouves 1 à droite et quand tu calcules ta limite à gauche, qu’est-ce que ça va donner ? Quand x tend vers 0, la limite à gauche, qu’est-ce que ça va donner ? Quand x tend vers 0, et bien la valeur absolue de x ça vaut -x, et là tu calcules la limite en 0-.
« Calcul mathématique » et là ça te donne -1.

Donc en fait, ce que tu conclus c’est que la limite quand x tend vers 0 tout court, de ce f(x)-f(0) sur x-0 pour la valeur absolue et bien elle n’existe pas cette limite parce que tu vois que ce n’est pas la même des deux cotés. Tu comprends ?
Et ça veut dire que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0. C’est ça que nous venons de prouver ensemble rapidement. D’accord ?
– Parce qu’elle a 2 limites, ça veut dire qu’elle n’est pas dérivable en 0?
– Oui, c’est ça, parce que la limite en 0 tout court n’existe pas. Parce que c’est -1 à gauche et 1 à droite, donc tu peux dire que ce n’est pas égal. Tu n’as pas de continuité si tu veux et ça ce voit graphiquement. Tu peux voir qu’une fonction n’est pas dérivable en un point parce que tu as une espèce de brisure au niveau de la variation. Et c’est le cas de ta fonction valeur absolue.
Tu vois bien que tu as une brisure au niveau de ce point que je fais en rose. Tu vois, elle se brise un peu ta courbe mais elle reste continue mais par contre sa dérivée n’est pas continue. C’est au niveau de la variation que ça se casse. Tu comprends ?

Et pour ton exo et bien il faut que tu fasses ça. Il faut que tu fasses le calcul dont je te parlais, en bleu, là.
– mais il faut que je remplace la fonction par 1 ?
– attention, il faut que tu le remplaces juste là, dans f(1). Et pourquoi ça fait -1 ? Et bien -x sur x ça fait -1. -5 sur 5 ça fait -1. Tout simplement.

Donc là, tu prends ton f(x), à quoi il est égal ton f(x) ? Il faut que tu te places dans deux cas, comme on a fait pour la valeur absolue.
Je pense qu’il faut que tu te places à droite de 1 et à gauche de 1 et tu regardes à chaque fois ce que devient ta fonction f(x). Et ton f(1), pour ce que j’entoure, tu remplaces. Tu remplaces dans f(x), x par 1.
Tu comprends ? On n’a qu’à le faire. Tu vas me donner ta fonction.

Gautier me demande… non ce n’est pas la même chose en bas parce qu’on a -x là. On a -x. 10 sur 10 ça fait bien 1, -3 sur -3 ça fait bien 1, x sur x ça fait bien 1.
C’est un nombre sur un même nombre.

-Donc là, donne-moi ta fonction. C’est parti, je la note. Donc nous on va juste s’occuper du 1.
-Et ce sera la même chose pour le -1 ?
-oui, tu feras un raisonnement qui sera similaire pour le -1. Donc la limite, qu’est-ce que tu vas calculer comme limite ?
-limite f(x)-f(1)
-oui mais pas seulement.
– sur x-1.
– Voilà. Et quand x tend vers quoi exactement ?
-Quand x tend vers 1
– A ton avis le x il va tendre vers 1 par valeur supérieure à 1 ou inférieure à 1 ? Vu qu’elle est définie sur [-1 ; 1] le x il peut tendre vers 1 que par le dessous.
Donc en fait, ça va être 1-. Ça peut nous aider.
– Est-ce que c’est pareil quand vous mettez un – au dessus, moi mon prof il met un x inférieur à 1.
– Oui c’est pareil, quand x tend vers 1-, c’est la même chose que 2 lignes, il faut écrire deux petites lignes : x tend vers 1 et x inférieur à 1.
C’est pareil. Alors f(1), ça vaut combien ? Ça va être assez simple à calculer.
– zéro.
– Ouais parce que quand tu remplaces x par 1, tu as 1-1 et ça fait 0 et après on s’en fiche de ce qu’il y a sous la racine carrée puisque quand tu as 0 fois un truc, ça fait 0.

Donc là, f(x) on le remplace, on a :
« Calcul mathématique »
Et là, qu’est-ce qu’on peut faire ? Sans regarder encore la limite, qu’est-ce que tu peux faire en regardant le quotient ?
Qu’est-ce que c’est le rapport entre 1-x et x-1 ? C’est l’opposé. Donc tu vois je renote la limite :
« Calcul mathématique »
C’est juste une petite transformation du dénominateur qu’on a faite. Et là, ça veut dire que tu peux faire quoi ? Tu peux enlever les 1-x et tu as quand même le moins rouge, qu’il ne faut pas oublier, qui va se retrouver devant la racine carrée.
Donc ça revient à :
« Calcul mathématique »

Alors pour calculer une limite, la première chose qu’on fait, la plus naturelle, c’est que tu remplaces le x par 1-.
Le x au carré il devient quoi ? Si x tend vers 1 ? 1 au carré ça fait 1.
Et donc du coup qu’est-ce que tu obtiens sous la racine carré ?
– 0.
– voilà. Donc en fait ça fait racine de 0. Moins racine de 0 mais peu importe parce que de toute façon racine de 0 ça fait 0.
Et donc qu’est-ce que ça veut dire sur la dérivabilité ? Le nombre f'(1) existe bien. Donc à priori elle est dérivable.
Et d’ailleurs tu peux regarder sur ta calculatrice si tu veux, mais je pense que ça peut être intéressant de tracer la courbe. On peut le faire ensemble.
– Je l’ai tracée
– En fait, il faut que tu zoomes un peu dessus je pense. Il faut que tu changes un peu la fenêtre. Tu sais faire ça ? Il faut que tu changes le xmin xmax.
Ça doit être dans windows si tu as une casio. Et donc tu essaies de te rapprocher un petit peu de ta fonction. Donc je le fais en même temps. On va dessiner rapidement la courbe de cette fonction.
Et en fait, à ton avis, vu que le coefficient directeur de la tangente en 1 vaut 0, et bien qu’est-ce qu’elle va faire la courbe de la fonction en 1 ? Autour de 1 ? Qu’est-ce que ça veut dire un coefficient directeur qui vaut 0 pour une droite ?
– Elle est horizontale.
– Exactement, elle est horizontale. Ça veut dire que la courbe elle s’aplatit. La courbe de f, elle s’aplatit au niveau de 1. Bon j’espère qu’on va trouver un truc comme ça.
Et bien voilà, ça a l’air de marcher. Je vous invite à la dessiner, c’est assez marrant comme petite courbe.

Donc voilà, et là, tu fais pareil pour -1 et pour -1 tu vas voir je pense, que ce n’est pas dérivable là. Parce que tu vas trouver une limite qui ne sera pas…
Je pense que tu vas trouver plus ou moins l’infini.
Voilà, c’est tout. Donc le but, quand tu veux étudier la dérivabilité en un point, tu calcules cette fameuse limite, quand x tend vers…
Pour la dérivabilité, je précise bien, en un point. Mais tu sais quoi ? C’est une question très précise, et je dirais peu fréquente. Je pense qu’au BAC il n’y a pas ça. Ça fait longtemps qu’il n’y a pas eu ça.
Ça m’étonnerait qu’ils vous mettent ça. Après le BAC c’est loin, peut-être que dans ton test tu auras ça parce que c’est ton prof tout simplement. Il faut s’adapter.