Terminale S Etudier le signe d’une fonction

Bonjour à toi et bienvenu dans star en maths TV. Aujourd’hui dans cet exercice, nous avons une fonction un petit peu complexe qui est de la forme sinx-x.
Alors tu vois que cette fonction, elle est définie sur R tout simplement parce que la fonction sinus, cette fonction trigonométrique est définie sur R et -x est aussi une fonction définie sur R.
Donc tout ceci, sinx-x est définie sur R. Je te rappelle que définie, ça veut dire que ici, sinx-x peut être calculée pour n’importe quel x appartenant à l’ensemble R.
Alors, la question de cet exercice, c’est d’en étudier le signe, à cette fonction.

Et comment faire pour étudier le signe d’une fonction un petit peu complexe pour laquelle le signe n’est pas immédiat.
Par exemple tu n’as pas une forme factorisée sachant que tu peux connaitre le signe de chaque facteur très simplement. Ou tu n’as pas une fraction, sachant que tu peux connaitre le signe du numérateur et du dénominateur facilement.
Non, ici, c’est un petit peu plus complexe. Pour faire ceci, il y a une technique, c’est d’étudier les variations de ta fonction. On va noter cette fonction f, comme d’habitude.
Donc f(x), définie sur R, égale sinx-x. et on va étudier, dans un premier temps, c’est un sous-problème qu’on se propose de résoudre, nous allons étudier dans un premier temps, les variations de f.
Et quand tu auras trouvé les variations de f, tu vas voir que dans un second temps, ça va peut-être être plus facile pour toi de regarder son signe.

Alors pour étudier les variations d’une fonction, tu connais une méthode, tu vas dériver f, quand ta fonction est dérivable et ici, c’est le cas. Et ensuite tu vas étudier le signe de ta dérivée.
Donc j’espère que tu comprends un petit peu ce qu’on fait. Il ne faut pas tout mélanger. Le but à la fin, ce n’est pas d’étudier le signe de f’, c’est d’étudier le signe de f.
Donc, dans un premier temps, on va étudier les variations de f. On va dresser son tableau des variations. Et pour faire ceci, tu sais qu’il faut dériver f, étudier le signe de f’et ensuite on aura les variations de f.
Et dans un second temps, on répondra vraiment à la question de l’exercice, on étudiera le signe de la fonction f, à partir bien sûr, de ses variations.

Donc dérivons tout de suite cette fonction f, qui est dérivable sur R puisque sinus est dérivable sur R et la fonction qui a x associe -x aussi.
Donc f'(x), c’est tout simplement égal à : la dérivée de sinus c’est cosinus de x, et la dérivée de -x, c’est -1.
Ici, j’ai calculé les deux sous-dérivées : la dérivée de sinus et la dérivée de -x.
En fait, il faut te rappeler que lorsque tu dérives une fonction qui est sous forme d’une somme ou d’une différence, c’est la même chose, et bien tu auras à la fin, à calculer les dérivées de chaque terme de ta somme, ou ici de ta différence.
Et ensuite il te suffit juste d’ajouter les sous-dérivées. Donc c’est exactement ce qu’on a fait ici.

Donc une fois que tu as calculé cette dérivée, là on ne peut pas vraiment la nettoyer ou quoi que ce soit, il faut en étudier le signe de cette dérivée f’pour obtenir à la fin les variations de f.
Alors pour étudier le signe de f’, il faut te rappeler une chose. Déjà rien que ça, ce n’est pas forcément évident pour toi, d’étudier le signe de f’. Il faut te rappeler qu’une fonction trigonométrique, du style sinus ou cosinus (mais pas tangente attention), sinus et cosinus sont toujours comprises entre -1 et 1.
Donc tu peux écrire cette inégalité-là, qui va nous servir tu vas voir : cosx est compris entre -1 et 1. Et ceci pour n’importe quel x réel. Cette inégalité est valable pour cosinus de n’importe quoi.
Tu pourrais avoir cosinus de x au carré plus « machin », ce serait compris entre -1 et 1.
Et maintenant, cosx-1, et bien il te suffit d’ajouter -1 partout dans cette double inégalité. C’est ce qu’on va faire, je vais le mettre en-dessous. Et tu sais qu’ajouter un nombre, un nombre négatif ici, ça ne change rien au sens des inégalités. C’est quand on multiplie ou qu’on divise qu’il faut faire attention mais là, ce n’est pas le cas. Donc qu’est-ce qu’on obtient ?
« Calcul mathématique »

Donc on trouve que notre f'(x), peu importe cette borne inférieure, ici moins 2, f'(x) est inférieur ou égal à 0 et c’est juste ce qu’on souhaitait savoir. On souhaitait connaitre le signe de f’.
Du coup, qu’est-ce qu’on en déduit sur les variations de f ? Et bien f est décroissante. Sur R puisque depuis le début on a pris un x appartenant à R. Donc tout ceci est valable pour n’importe quel x réel.
Et donc là, qu’est-ce qu’on en déduit ? On a f est décroissante sur R.
Ça c’est déjà une première information très importante, et qui va nous aider à étudier le signe de f puisque je te rappelle que c’est l’objectif final. Donc f est décroissante sur R.

Maintenant on va dresser un petit peu un tableau de variation et peut-être que tu vas mieux visualiser comment se comporte son signe, à f.
C’est ce que je te propose de faire, on va faire tout de suite un tableau des variations de f, en vue finalement d’en dresser son tableau de signes.
Donc c’est parti pour le tableau de variation de f. la première ligne c’est toujours x. x tu le fais varier de quoi à quoi? Et bien de -l’infini à +l’infini. C’est-à-dire sur R tout simplement parce qu’ici tu as le droit de faire varier x sur R parce que f est définie sur R.
Ensuite tu mets f en deuxième ligne. Et tu ne mets pas f(x) ici dans cette deuxième ligne tout simplement parce que ce n’est pas f(x) qui est décroissante, c’est f. Il ne faut pas confondre ces deux objets mathématiques. f(x) je te rappelle que c’est l’image de x par f. C’est un nombre f(x), ce n’est pas une fonction. Alors que f est une fonction.
f peut être croissante ou décroissante et là, en l’occurrence, tu te souviens, vu que f’ est négative, f est décroissante sur R. Donc on a ceci.

Et en-dessous, tu peux mettre une troisième ligne et sur cette troisième ligne on va mettre le signe de f(x).
Alors maintenant, comment faire -on est dans la deuxième étape- à partir des variations de f, pour obtenir le signe de f(x) ?
Et bien en fait, il faut remarquer que la fonction f est décroissante. Ça c’est sûr. Qu’est-ce que ça veut dire qu’elle est décroissante ? Ça veut dire qu’elle part d’un certain nombre, quand x « égal -l’infini », quand x tend vers moins l’infini et elle va, quand x tend vers +l’infini, vers un autre nombre, qui peut être -l’infini.
Ça veut dire qu’à un moment donné, peut-être qu’elle passe par 0. Ou peut-être qu’elle est tout le temps positive.

Mais on va regarder d’un petit peu plus près quelles sont ses limites en -l’infini et en +l’infini. Et bien on ne va pas le démontrer ici parce que ça prendrait un petit peu de temps, mais sa limite, à f, quand x tend vers -l’infini c’est +l’infini. Et quand x tend vers +l’infini, c’est -l’infini.
Et en fait tu pourrais démontrer ceci par exemple grâce au théorème des gendarmes. Tu vois, c’est assez évident de démontrer ceci avec le théorème des gendarmes. Tu dis simplement que sinus x est compris entre -1 et 1, toujours cette même inégalité, ensuite tu ajoutes -x dans cette double inégalité.
Et tu vois que les deux termes, à gauche et à droite, quand tu étudies dans un premier temps la limite quand x tend vers -l’infini, et bien les deux termes tendent vers +l’infini. Donc par le théorème des gendarmes, f tend vers +l’infini aussi.
Et deuxième temps, tu étudies la limite quand x tend vers +l’infini. J’espère que tu me suis. Et bien les deux termes, de la double inégalité, à gauche et à droite, tendent tous les 2 vers -l’infini. Donc f tend vers -l’infini aussi, par le théorème des gendarmes.

Donc c’est comme ceci que tu démontres ces valeurs de +l’infini et -l’infini ici. Donc ça veut dire qu’au milieu forcément, vu que f est une fonction continue, et bien elle passe par 0. Elle passe forcément par 0.
C’est-à-dire que la courbe de la fonction f, c’est quelque chose comme ça : ici tu as l’axe des x, et donc la courbe de f, que je peux faire figurer par exemple en mauve, et bien elle fait comme ça. Quelque chose comme ça imaginons.
Et là, et bien elle va vers +l’infini. Souviens toi que ces valeurs en rouge, ici, ce sont des valeurs suivant y. Donc je peux tracer par exemple mon axe des y ici. Peu importe où je le place. Et ici, à droite, ça va vers -l’infini.
Donc à un moment donné, ta fonction f elle passe par 0. Cette courbe de f elle passe par 0 ici. f(x) à un moment donné est égal à 0. Et ce nombre, on peut l’appeler x0, tel que f(x0)=0, et bien c’est l’endroit du changement de signe.
C’est-à-dire qu’avant x0, qu’on va trouver tout de suite tu vas voir, pour les x inférieurs ou égal à x0, f(x) est positive. Ce sera cette partie ici à gauche. Et pour x supérieur ou égal à x0, donc ces x là, et bien tu vois bien que f(x) est négative.

Et quel est ce x0 ici? C’est-à-dire quel est le x pour lequel f(x)=0 ? Et bien en fait, si tu regardes d’un peu plus près tu n’as qu’à remplacer x par une valeur très simple. Par exemple 0 justement.
Quand tu remplaces x par 0 qu’est-ce qui se passe ? Et bien sinus de 0 ça vaut 0 et -x aussi. Donc tu obtiens f(0)=0.
Donc finalement le x0 c’est ça. Et ça tu peux le placer dans ton tableau de signe. Ici on va mettre 0. Et à ce moment-là, quand x vaut 0 on vient de calculer que f vaut 0. Donc ici, tu peux mettre une barre si tu veux et ici tu peux mettre un 0.
Et ici la valeur atteinte, tu peux le mettre dans la deuxième ligne, c’est 0. f de 0, c’est 0.
Et donc, grâce aux variations, vu que la fonction f est décroissante, et bien forcément c’est + avant et ensuite c’est -.

Donc tu vois, grâce aux variations de la fonction f et en trouvant à quel moment la fonction f change de signe puisque tu sais que la fonction f est monotone et en l’occurrence décroissante, et bien tu peux trouver très facilement le signe de f.
Donc c’est exactement ce qu’on a fait ici. Donc le signe de f c’est très simple. Quand x varie de -l’infini à 0, quand x appartient à l’intervalle ]-l’infini;0[ f(x) est positive. Et quand x est positif, f(x) est négatif.
Donc j’espère que tu as bien compris cet exercice. Donc une technique pour obtenir le signe d’une fonction, c’est tout simplement d’étudier les variations de cette fonction et ensuite d’étudier son minimum, son maximum si elle en a et où elle passe par 0.
C’est exactement ce qu’on a fait ici. D’accord ?