Terminale S Exercice avec Théorème du plus haut degré

Souviens-toi qu’on aime factoriser par des termes. C’est vrai j’utilise des termes, enfin j’utilise l’expression « qui varie » beaucoup.  Un terme qui varie beaucoup.

Quel est le terme qui varie le plus ici ?

5x.

Au numérateur oui, au numérateur c’est vrai. Donc, on va écrire tout simplement que c’est la limite, toujours quand x tend vers plus l’infini. Donc au numérateur tu aimerais qu’on factorise par combien ?

Par x. D’accord, ok, donc on factorise par x, qu’est-ce que ça va nous donner ?

Ah non, plutôt par 5x. Non, ça ne change rien.

Ça ne va pas changer grand-chose en fait, effectivement.

<Calcul mathématique>, tout simplement. Ensuite, au dénominateur.

Au dénominateur ce sera donc <Calcul mathématique>. Très bien. <Calcul mathématique>. Ok, ensuite on y va lentement. <Calcul mathématique>, très bien. Donc ça c’est bien.

Bon, alors, est-ce qu’il va y avoir des choses qui vont nous avancer ici, qu’est-ce qu’on va pouvoir simplifier ?

Déjà quand x tend vers plus l’infini, dans les parenthèses, au numérateur, ça va tendre vers 1, puisque 3/5x ça va tendre vers zéro. Tout à fait. Donc déjà, la parenthèse ici tend vers 1.

Ensuite, au dénominateur aussi c’est la même chose.

Donc sur ta copie, tu dirais ça plutôt que de faire mes accolades orange, tu réécrirais les limites. Alors je sais que c’est un peu long, mais tu dirais : limite quand x tend vers plus l’infini de <Calcul mathématique> égal à 1. D’accord, et limite quand x tend vers plus l’infini de <Calcul mathématique> tu dirais, vaut 1. Et ensuite, qu’est-ce que tu dirais ici ?

On peut enlever le x en bas.

Voilà, donc ce que je dirais, moi ce que je mettrais sur ma copie c’est que je barrerai, je barrerai un x ici, et je barrerai le carré là. Et je réécrirais à mon avis tout ça, je pense que je réécrirais tout ça, avec juste, donc je vais le réécrire, il va nous rester tout simplement, <Calcul mathématique>, tu pourrais tout simplement dire ça, mais il faut que tu aies dit entre temps, donc ici, avant d’écrire cette égalité, tu dis, la limite de, on met une parenthèse, donc en gros de <Calcul mathématique> égal à zéro et tu vois. Egal à 1 pardon.

Donc là, de l’avoir dit sur ta copie c’est très important, et comme ceci, tu peux réduire toute ta limite de f(x) à juste cela, et ça, la limite de ceci, c’est combien ?

C’est zéro.

C’est zéro. Remplace x par un grand nombre, par 10 000, tu as – 1/20 000, c’est un nombre très petit qui tend vers zéro. Pas de soucis ? Donc voilà, finalement ça tend vers zéro. Pourquoi ? Finalement ici, parce que tu as un polynôme du second degré en bas et un polynôme du premier degré seulement au-dessus. Donc ça va être en gros, quand x tend vers plus l’infini, ou moins l’infini aussi, on verrait, c’est le terme de la plus forte puissance qui gagne de toute façon, toujours, mais ici surtout le polynôme de plus degré qui gagne. Donc c’est le polynôme du dessous.

Comme la fonction inverse en fait ?

Exactement, si tu veux ici, cette fonction, elle est équivalente, entre guillemets à la fonction presque inverse, parce qu’ici, ceci est presque une fonction inverse.

 En fait ça ne change rien qu’il y ait le 2 en bas.

Exactement. Ça ne change rien ici. En revanche, si tu avais depuis le début, un carré, ici ça aurait changé, parce qu’ici tu aurais eu on va dire un x qui serait resté, et ici aussi, donc en gros, tu aurais eu plutôt les x qui se seraient simplifiés, tu vois, et tu aurais eu ça.

En fait, ce serait moins -1/2 l’asymptote.

Voilà. Et l’asymptote au voisinage, il faut bien préciser pour les asymptotes. C’est déjà une asymptote qui est horizontale, Est-ce que c’est une asymptote qui est au voisinage de plus l’infini à la courbe de f, et donc effectivement l’asymptote, ce serait quoi du coup ?

y=-1/2

Tout à fait Stéphane. Et du coup, quand x tend vers moins l’infini, ce serait exactement la même chose. Ce serait aussi une asymptote au voisinage de moins l’infini.

Donc il faut vraiment observer les termes ici qui varient le plus dans une limite. Donc ici, tu as 5x, ici tu as -10x². Voilà.