Terminale S Fonction continue en un point

Comment démontrer qu’une fonction est continue en un point donné ?
Bonjour à toi et bienvenu sur star-en-maths.tv. Ici Romain. Donc l’exercice d’aujourd’hui est niveau terminale S puisqu’on va parler d’une notion qui s’appelle la continuité et qui est propre à la terminale S.
Dans l’exercice d’aujourd’hui on a une fonction f qui est définie par 1 moins racine de (1+x²), le tout sur 2x. Alors f(x) est égal à cette expression quand x est différent de 0. Et quand x=0, f(0)=0
Donc la définition de cette fonction f, ce n’est pas seulement ça, c’est tout ça : c’est ça et aussi f(0)=0. Ça c’est très important.
La question de cet exercice, c’est de démontrer que f est continue en 0.

Alors ce que je vais te rappeler avant tout c’est la définition de la continuité d’une fonction en un point donné. Je vais te la rappeler ici en noir :
f est continue en a (quand je dis en un point donné ou en a, ça veut dire quand x=a) ça équivaut à dire que la limite quand x tend vers a de f(x)=f(a).
Alors peut-être que cette définition peut te paraitre théorique. Peut-être que la continuité tu ne vois pas très bien ce que c’est mais graphiquement ça représente quelque chose de concret.
Sur son ensemble de définition, quand f est continue, ça signifie que tu peux tracer sa courbe sans lever ton crayon. Tu n’as pas besoin à un moment donné de lever ton crayon et de recommencer ailleurs pour continuer ta courbe de fonction.
Et bien c’est un petit peu ça que représente la continuité d’une fonction. Il n’y a pas de discontinuité si tu veux. Il n’y a pas besoin de lever ton crayon et de recommencer à tracer en un autre endroit;

Et quand f est continue en un point donné, et bien représente toi un petit peu cette limite la façon suivante : en fait, quand x se rapproche indéfiniment de a, c’est ça une limite, et bien le f(x), par exemple si x vaut a+1 , a+0.5 ; a+0.3 etc., il se rapproche de a par valeur supérieur, et bien le f(x) il est f(a+1); f(a+0.5) ; f(a+0.3) etc.
Et quand x se rapproche vraiment de a, quand il est presque égal à a, il ne faut pas que ta limite de f(x) soit différent de f(a) et c’est exactement ça la continuité.
C’est-à-dire que tu passes de f(a+1) quand x=1, à f(a+0.5) quand x=0.5 , à f(a+0.3) quand x=0.3 etc. Quand x se rapproche de a par valeur supérieur on a dit, le f(x) se rapproche de f(a) et quand x est égal à a, ce f(x) vaut f(a).
Donc tu n’as pas besoin de lever ton crayon pour recommencer à un autre endroit puisque quand x vaut a, le f(x) vaut tout naturellement f(a). C’est ça la continuité, tu n’as pas besoin d’aller ailleurs.
J’espère que cette petite explication te permet de palper un petit peu mieux cette notion de continuité d’une fonction en un point donné.

Alors nous, ce qu’on va faire, vu qu’on veut démontrer que notre fonction f, non pas en a, mais en 0, c’est-à-dire que le a il vaut 0, et bien on va essayer de s’attaquer au calcul de cette limite et de démontrer que la limite, quand x tend vers 0 de notre f(x), c’est effectivement f(0).
Vu que f(0) c’est 0 et bien il faut démontrer que la limite de f(x) quand x tend vers 0, c’est égal à 0. Ça c’est qu’il faut démontrer donc je ne le sais pas encore mais une fois qu’on aura démontré ceci, on aura bien démontré que f est continue en 0 grâce à cette équivalence.
Alors maintenant, comment on va calculer cette limite et démontrer qu’elle fait bien 0. Alors vu que tu as l’expression de f(x) uniquement quand x est différent de 0, tu ne vas pouvoir calculer directement cette limite.
Il va te falloir passer par le calcul de 2 limites : la limite quand x tend vers 0- (0 par valeur inférieur) de f(x), et la limite de f(x) quand x tend vers 0+. En fait quand tu vas calculer ces deux limites, et si tu trouves que ces deux limites tendent vers un nombre fini qui est le même nombre, alors tu auras bien trouvé la limite quand x tend vers 0 (sans valeur inférieur ou supérieur)
Et cette limite, sera ce nombre mais il faut que ce soit le même dans les deux cas.

Donc dans ces deux cas, vu que x tend vers 0 par valeur inférieur donc il n’a pas besoin d’être égal à 0 et aussi quand x tend vers 0 par valeur supérieur, c’est-à-dire que x n’a pas non plus besoin d’être égal à 0 : c’est très important parce que c’est ceci, x n’a pas besoin d’être égal à 0, qui te permet de remplacer f(x) par cette expression qui n’est définie que quand x est différent de 0.
Donc ici tu peux bien dire que cette limite est égale à la limite, toujours quand x tend vers 0-, mais cette fois-ci le f(x) tu peux le remplacer par ça, justement parce que x tend vers 0- mais ne peut pas être égal à 0. Il se rapproche de 0 mais par valeurs strictement négatives. Donc là tu peux dire 1 moins racine de (1+x²), le tout sur 2x.
Et cette limite là, ça va être la même, tu peux remplacer f(x) par son expression ici quand x est différent de 0 : limite quand x tend vers 0+ de 1 moins racine de (1+x²), le tout sur 2x.
Alors maintenant on va essayer de palper un petit peu cette limite et de voir combien elle vaut dans chacun de ces deux cas. On va voir que ces deux cas sont quand même très similaires.

Donc premier cas, quand x tend vers 0-, qu’est-ce qui se passe au numérateur ? Alors tu as :
« Calcul mathématique »
Donc ici tu obtiens un cas indéterminé qui est 0 sur 0. On ne peut pas trancher. On ne sait pas combien vaut la limite.
Et c’est exactement la même chose quand x tend vers 0+, puisque ça ne change rien au numérateur, il tendrait vers 1-1 donc 0 et le numérateur également.
Donc tu es face à un cas indéterminé. Comment on va lever ce cas d’indétermination ? Et bien il faut déjà voir pourquoi tu as ce cas d’indétermination.

Regarde d’un petit peu plus près. Tu es d’accord que le dénominateur c’est 2x dans les 2 cas. Ça tend vers 2*0 donc 0. Et le numérateur, tu as 1-1 dans les deux cas. En fait c’est le moins qui nous embête et qui nous donne à la fin 0. C’est 1-1 que ça te donne donc 0.
Et si tu avais un plus à la place du moins, ça ferait 1 plus racine de (1+x²), tu n’aurais pas 0 dans chacun de ces numérateurs. Alors comment obtenir un plus ?
Et bien en fait, il faut considérer l’expression conjuguée de ce numérateur. J’espère que ça te rappelle quelque chose l’expression conjuguée d’une expression comme ceci au numérateur : 1 moins racine carrée de (1+x²). En fait son expression conjuguée c’est la même chose mais tu remplaces le moins par un plus.
Et donc c’est une technique de calcul qui revient régulièrement et notamment quand on calcule des limites.

Ce qu’on va faire donc, c’est qu’on va prendre un x différent de 0 et on va donc considéré notre f(x), qui est égal à ceci puisque x est différent de 0. C’est égal à
« Calcul mathématique »
Et je te conseille de multiplier haut et bas cette fraction par le conjugué du numérateur. Et le conjugué du numérateur va faire apparaitre un plus comme je te le disais :
« Calcul mathématique »
ET qu’est-ce que ça va nous permettre de faire ? Et bien observons. Au numérateur tu as quelque chose de la forme (a-b)(a+b), sachant que le a c’est 1 et le b c’est racine carrée de (1+x²). Donc si tu connais bien tes identités remarquables et notamment la différence de deux carrés, a²-b², et bien c’est justement égal à ça. Donc tu peux noter que ça vaut :
« Calcul mathématique »

Bon alors tu vas me dire c’est assez compliqué mais qu’est-ce qui se passe ici ? Tu as quelque chose d’intéressant qui se passe puisque tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »
La racine de quelque chose au carré c’est la valeur absolue de ce quelque chose mais ici, 1+x² c’est toujours positif donc tu peux enlever les valeurs absolues donc tu as l’égalité suivante : valeur absolue de 1+x², c’est égal au nombre 1+x². Car 1+x² c’est toujours positif, quel que soit la valeur de x. Donc sa valeur absolue c’est lui-même
Donc ici, je peux enlever ces barres qui signifient la valeur absolue. Donc ici je peux mettre des parenthèses et le dénominateur reste le même donc :
« Calcul mathématique »

Donc les 1 ici vont s’enlever, donc je vais les barrer et tu vas obtenir au numérateur -x². Et les x vont s’annuler haut et bas. Donc tu vas avoir le carré qui va s’enlever et ce x qui va s’enlever.
Donc le nombre qu’il va te rester : -x sur 2 facteur de 1 plus racine de (1+x²). Et ceci, on va pouvoir en calculer la limite plus facilement.
En effet quand on reprend chacune de ces deux limites : quand x tend vers 0- et quand x tend vers 0+, qu’est-ce qu’on observe maintenant qu’on a transformé notre f(x) en multipliant haut et bas par l’expression conjuguée : 1 plus racine carrée de (1+x²). Et bien qu’est-ce qui se passe ?
Et bien ce numérateur tend vers 0, dans l’un ou l’autre des deux cas, l’une ou l’autre de ces limites. Donc ça, ça tend vers 0, le -x. Et le dénominateur par contre regardons bien : c’est 2 facteur de 1 PLUS (et c’est ça qui change tout), racine carrée de 1 plus 0² donc on obtient racine carrée de 1, donc 1.
Donc ça, ça tend vers 1 quand x tend vers 0+ ou 0- peu importe. Donc ici on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc le dénominateur tend vers 4. Donc 0 sur 4 et ça, ce n’est pas un cas indéterminé puisque 0/4, ça fait 0.

Donc ce qu’on vient de prouver, un petit peu rapidement. Sur ta copie tu renoterais les limites suivantes et tu dirais que la limite de f(x) quand x tend vers 0- et bien c’est la limite de tout ceci maintenant quand x tend vers 0-. Et tu mettrais mais entre guillemets parce que normalement on ne met pas ça, tu vois je mets des flèches en orange. Donc tu mettrais « 0/4 » et donc =0.
Et de la même façon quand x tend vers 0+. Et donc on vient de prouver que ces deux limites valent 0, une fois qu’on a levé le cas d’indétermination.
Donc tu vois, elles valent 0, donc tu viens de prouver que cette limite-là, quand x tend vers 0, sans plus ni moins, donc sans que ce soit par valeurs inférieures ou supérieures. C’est vraiment la limite quand x tend vers 0, d’une façon générale. Limite f(x) quand x tend vers 0, c’est égal à 0.
Je te rappelle que lorsque tu as calculé la limite de f(x) quand x tend vers a- et a+ et que tu trouves que c’est le même nombre, et bien la limite quand x tend vers a de ce f(x), c’est ce nombre.

Et là, ce qu’il faut dire encore c’est que la limite de f(x) quand x tend vers 0 égale 0, et ce 0 c’est aussi f(0).
Donc à la fin tu peux mettre égal f(0). Il ne faut pas oublier de le mettre d’ailleurs puisque ceci, ça te permet d’obtenir cette partie là de l’équivalence : limite de f(x) quand x tend vers 0=f(0). Donc tu démontres bien en utilisant cette équivalence que f est continue en 0.
Voilà donc comment on a démontré cette continuité en 0 et comment on a calculé ces deux limites là, au niveau technique de calcul de limites, en multipliant haut et bas ce quotient pas l’expression conjugué du numérateur. C’est un petit peu long à dire mais j’espère que tu as compris la technique de calcul qu’il y a derrière.
Cette technique de calcul te permet en fait de remplacer un moins par un plus et d’utiliser l’identité remarquable a²-b² qu’on voit apparaitre ici.
Donc il y a plusieurs petites précautions qu’il faut prendre et notamment, tu as vu, j’ai pu remplacer la valeur absolue de 1+x² par 1+x² lui-même.

Voilà, j’espère que tu as bien compris cet exercice important sur la continuité d’une fonction en un point donné.