Terminale S Racine Nième de l’unité

1ère vidéo

Somme des racines cinquièmes de l’unité

2ème vidéo

Racine nième de l’unité

3ème vidéo

Deuxième question de l’exercice de Maths : démonstration des égalités

Dans cet exercice de math gratuit en vidéo, niveau Terminale S, nous allons étudier non pas les racine nième de l’unité en général, avec n un entier positif non nul, non, nous allons étudier quelques propriétés des racines cinquième de l’unité !

Racine Nième de l’unité

Une question classique en mathématiques est de démontrer que la somme des racine nième de l’unité est égale à zéro ! Ici, nous allons le démontrer dans le cas où n vaut 5, c’est-à-dire dans les cas des racines cinquième de l’unité.

Elles se basent sur le nombre z de cet exercice de Maths de Terminale S : exponentielle i PI sur cinq !

Et comment démontrer que cette somme vaut 0 ?

Somme des termes d’une suite géométrique

Comme les racines cinquième de l’unité (je répète, les racine nième de l’unité avec n=5) sont 1, z, z², z^3 et z^4, on remarque qu’elles sont les premiers termes d’une suite géométrique de raison z et de premier terme 1 !

Et la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de raison différente de 1 est connue depuis la classe de 1ère S ! Je sais je sais, elle n’est pas facile à retenir 🙂 !

Mais revoyons-la ici dans cette vidéo de Maths. Nous allons l’adapter à notre petite somme de termes d’une suite géométrique (on aura bien défini cette dernière avant d’utiliser la formule, comme d’habitude en mathématiques, il faut bien réunir les conditions avant d’appliquer un théorème ou une formule).

Et qu’est-ce qui apparaît au numérateur de cette somme des 5 premiers termes de notre suite géométrique ? 1 – z^5 !!! Or comme z est une racine nième de l’unité (avec n=5), donc une racine cinquième de l’unité, z exposant 5, autrement dit z puissance 5, vaut 1 ! Donc le numérateur vaut 1 moins 1 donc zéro !

Nous avons aussi réalisé une vidéo sur cette somme, mais avec les racines cubiques de l’unité (le nombre complexe j et ses amis ; ).

Conjugué de z

Pour la deuxième question de cet exercice de maths sur les nombres complexes, plus précisément sur les racine nième de l’unité, on va utiliser quelques règles simples sur le conjugué d’un nombre complexe (autrement dit z barre).

Argument d’un nombre complexe

Rappelons-nous que l’argument d’un nombre complexe est défini modulo 2PI ! Donc on peut ajouter 2PI, autant de fois qu’on veut, à notre argument, en l’occurrence celui de z puissance 4.
On peut retrancher aussi ! (je te montre cela sur le cercle trigonométrique =).

Donc voilà comment on démontre cette première égalité. En fait je multiplie articiellement par 1 l’égalité z barre au carré = exponentiel de i – 4PI sur 5 pour te rappeler que 1 est aussi exponentielle de i 2PI !!

Pour la 2ème égalité, on peut utiliser exactement la même méthode, mais je t’encourage à démontrer cela en utilisant une méthode différente ! Nous, on va utiliser l’égalité précédente, en la multipliant à gauche et à droite par z.

On fait apparaître z barre fois z, et qu’est-ce que c’est que ça 🙂 ? C’est le module de z au carré ! Comme le module de z vaut 1, ça vaut 1 aussi.