Terminale S Rappels Suites et Limites

Une suite, qu’est-ce que c’est finalement une suite ?

Une suite, c’est une suite de nombres, tu es d’accord ? Ça peut se noter par exemple Un, et donc Un, ça peut se définir en fonction de n. Tu te souviens, il y a deux définitions possibles pour une suite. Est-ce que tu pourrais me les donner d’ailleurs. Est-ce que tu t’en souviens ?

Ce sont les suites numériques non ?

En Mathématiques, on appelle une suite, une suite numérique. C’est le même mot en fait.

Donc numérique tu peux oublier même.

Il y a deux sortes de suite que j’avais vu, les suites arithmétiques et les suites géométriques. Effectivement, ça c’est une autre distinction mais en fait ce que je voulais t’entendre dire, c’est qu’il y a deux définitions possibles et les deux définitions, parce qu’arithmétique et géométrique ce sont deux types de suites, comme par exemple dans les fonctions, les fonctions, tu as les fonctions linéaires ou affines, ça c’est un type de fonctions, tu vois ? Donc arithmétique et géométrique c’est pareil, c’est un type de suite.

Les deux définitions possibles pour une suite c’est en fait une définition par récurrence, et qu’est-ce que ça veut dire par récurrence, ça veut dire que tu as Un+1 qui est égal à à f(Un). Bon, ça c’est une définition un peu particulière. Je te donne un exemple tout de suite, tu peux avoir un+1 qui est égal tout simplement à 2Un. D’accord ? Ça c’est ce qu’on appelle la définition par récurrence. Première façon de définir une suite.

La deuxième façon qui est beaucoup plus naturelle, c’est la définition qu’on appelle explicite. Alors explicite ça veut dire quoi ? ça veut dire que c’est directement, non pas en fonction de Un+1 ou de trucs compliqués, c’est directement en fonction de n, donc tu as Un, directement en fonction de n Un= f(n). Je te donne un exemple, un autre exemple. Et bien tu as Un = 3n+1. Tu me suis jusque là ?

Oui, jusque là ça va.

Ok.

Donc ensuite, si tu as une suite qui est définie de façon explicite, alors de toute façon tu peux toujours définir soit par récurrence, soit de façon explicite, ce sont vraiment les deux types de définitions que tu rencontreras dans les exercices. D’accord ? Et ensuite, quand tu as une suite qui est définie de façon explicite, par exemple, comme ceci : Un=3n+1, en fait qu’est-ce que c’est ? Et bien c’est directement une fonction. Tout simplement.

C’est directement une fonction, le x, ce n’est plus le x, c’est le n.

C’est n en fait. Tu vois ? Vu que tu as directement ta suite en fonction de n. Et bien tu peux calculer tout simplement la limite quand n tend vers +∞ de cette chose-là. OK ?

Oui, mais ce sera quoi ?

Voilà. Alors maintenant à quoi ça sert. Là je t’ai donné des explications initiales. A quoi ça sert, et bien tout simplement, vu que tu as une suite de nombres, imagine qu’on va reprendre cette suite là, Un = 3n+1. Donc est-ce que tu pourrais me dire à quoi correspond cette suite par exemple, sur quel n elle est définie. Tu vas voir, on va arriver à la question que tu me poses.

De zéro à plus l’infini.

Oui. D’accord oui. Par exemple, est-ce que tu pourrais me dire, combien à l’oral vaut Uo.

Et bien ce serait égal à 1.

Oui, exactement, maintenant U₂.

U₂ ce serait égal à 7.

Oui c’est bien, donc en fait tu vois que tu ne fais que remplacer n par le nombre que je te donne. Tu vois ? Comme pour une fonction un petit peu. Alors maintenant, on peut calculer la limite d’une suite.

C’est-à-dire qu’une suite déjà on peut en étudier ses variations aussi avant d’en calculer la limite quand n tend vers +∞.

Tu vois, une suite comme une fonction. C’est un peu la même chose en fait, c’est ça que je suis en train de te dire. C’est qu’une suite, c’est un petit la même chose qu’une fonction. Ici, tu as Un = f(n) et en fait il te suffit d’étudier f. Quand on te demande par exemple d’étudier les variations de ta suite Un, et bien finalement on te demande d’étudier la fonction f, les variations de la fonction f. Et tu peux aussi en calculer sa limite.

Et bien tu me disais à l’instant, U₀ =1, et puis tu as U₁ =4, U₂= 7, U₃ =10, donc je remplace <Calcul mathématique> etc. Et bien la limite c’est quoi ? C’est tout simplement vers quoi tendent ces nombres là : 1,4, 7, 10 tu vas calculer le suivant U₁₀₀, U₁₀₀₀₀ … et en fait, vers quel nombre ça tend si ça tend vers un nombre parce que des fois ça ne tend pas vers un nombre, ça peut diverger si tu veux, ça peut tendre vers plus l’infini, ça peut tendre vers moins l’infini et ça peut aussi diverger, un peu comme une fonction, des fois tu as égal à -2, par exemple U₁₀₀=-2, après ça peut être égal à 100, après ça peut être égal à -300. Tu vois, ça c’est une sorte…

Il y a des suites alternées aussi comme ça ?

Oui ça existe, on appelle ça des suites alternées, c’est vrai. On peut appeler ça comme ça. Mais ce que je veux te dire tout simplement, c’est la limite d’une suite, c’est quoi, c’est tout simplement le nombre, si ça existe, ça n’existe pas toujours, c’est quand ta suite est convergente justement, quand elle a une limite, en une limite finie, et bien la limite c’est ça, c’est le nombre vers lequel elle tend. C’est ce nombre là en fait, à la fin, quelque part, quand tu calcules U de plus l’infini, même si on n’écrit jamais ça, je mets ça entre guillemets. Tu vois ? Et là, dans le cadre de cet exemple, est-ce que tu peux me dire, qu’est-ce que c’est que la limite de Un.

+∞

Voilà. Très bien. Tu vois, tu as compris.

Maintenant, autre suite que je peux définir, en fait généralement vu que là, la définition est explicite, c’est celle-là, c’est beaucoup plus simple de déterminer la limite. Après dans certains exercices, dans certains problèmes, on te fera étudier des suites définies par récurrence. Tu vois. Un+₁ = f(Un). C’est la même chose de voir par exemple Un+₂ en fonction de Un+₁, tu vois ? Ça c’est encore une définition par récurrence. Et parfois tu as même des définitions qui sont un peu combinées, mais là c’est plus compliqué.

Et donc étudier la limite d’une suite définie par récurrence comme ceci, c’est un petit peu plus difficile. Généralement dans les exercices on t’aide. On te pose des questions intermédiaires. D’accord ?

Donc maintenant autre exemple, par exemple la suite (je vais prendre le bleu), si tu as une suite sous le bras là par exemple on peut l’étudier. Sinon je t’en donne une comme ça.

Ex : Un = (1/n) +1

Déjà est-ce que tu pourrais me donner l’ensemble de définition de cette suite ?

C’est comme pour une fonction. Pour une suite, on peut aussi étudier l’ensemble de définition.

n≠0

Oui. Très bien. Mais généralement les suites on les fait démarrer à des rangs qui sont positifs, donc en fait, l’ensemble de définition ?

Ce serait zéro à plus l’infini, sans prendre le zéro. Oui c’est bien, sachant que ce sont des nombres entiers aussi les n bien sûr. En fait c’est N*, on note ça N*, ça te dit quelque chose ?

Je faisais ça avec R mais…

Ah oui, ce n’est pas R du coup, ce n’est pas R. Tout simplement parce que les n ici ce sont des réels parce qu’un nombre entier c’est un nombre réel, mais ça ne peut pas être 1,5. Ok ?

Et ça ne peut pas être négatif non plus. Généralement non, dans les problèmes, N il part souvent de zéro, et par en en l’occurrence là, il part de 1.

N* c’est un ensemble qui se note comme ceci <Calcul mathématique>. Et donc c’est tout simplement les nombres, enfin tu peux les écrire comme ça, c’est 1, 2, 3, 4, 5 etc. de nombres tout simples.

A la différence d’une fonction, une suite c’est défini pour des x, en quelque sorte qui sont entiers.

Et maintenant, est-ce que tu peux me dire quelle est la limite de cette suite ? Par exemple si tu calcules, U₁, U₂, U₃, vers quel nombre ça va tendre en plus l’infini ?

Vers zéro ?

Tu es sûre ? Alors prenons chaque élément.

Plus n sera grand, plus Un sera petit.

Alors ce n’est pas sûr. Tout simplement parce qu’il y a +1 derrière. Tu vois ? Alors ce que je te conseille de faire… Oui je t’écoute.

A partir d’un certain nombre ça va être de plus en plus vers zéro mais avant ça va être au-dessus de 1 au début.

Alors ce n’est pas faux, mais en fait ça va …

En fait ça restera au-dessus de zéro.

Voilà. Et ça va tendre vers quel nombre du coup ?

Et bien 1 en fait.

Tout simplement parce que, comme tu étudierais la limite d’une fonction, vu que là, Un c’est sous forme d’une somme, c’est une somme de deux termes, et bien tu étudies la limite du premier terme, et bien ensuite tu étudies la limite du terme 1. Donc la limite du terme 1 vu qu’il ne dépend pas de n, c’est forcément ce nombre constant 1, ça ne change pas, tu vois ? Et là, et bien 1/n et bien ça tend vers zéro. Quand n tend vers plus l’infini, ça tend vers zéro.

Alors, petite différence aussi avec les fonctions, une limite d’une suite, ça s’étudie que pour n tend vers plus l’infini. Alors que pour une fonction tu peux étudier la limite en tout point de son domaine de définition.

Est-ce que tu vois ce que je veux dire ? Par exemple une fonction, tu peux étudier par exemple f(x) j’en sais rien, f(x) est égal à x²-1, ça tu peux étudier sa limite, vu que son ensemble de définition à cette fonction c’est R. D’ailleurs c’est un polynôme du second degré au passage. Et bien tu peux utiliser la limite quand x tend vers plus l’infini, mais aussi moins l’infini, mais aussi 1,0,2,3, 10000, 7, -2, tout ce que tu veux. Alors que pour une suite, c’est TOUJOURS la limite quand on te demande de calculer la limite, la limite quand n tend vers plus l’infini. Tu vois, ce n’est que ça le calcul d’une limite pour une suite. Voilà, on ne te demandera jamais de calculer la limite d’une suite quand n tend vers 2. Ça n’a pas de sens.

Voilà ce que je peux te dire Gauthier sur ta question. Ensuite pour tout ce qui est calcul, ou technique en tout cas pour trouver la limite de ta suite que tu as sous les yeux, ce sont les mêmes techniques qu’on utilise pour les limites de fonctions. Tu vois, ça s’étudie un peu de la même façon quelque part. Comme je te le disais à l’instant, une suite ce n’est rien d’autre qu’une fonction, finalement, un peu. Tu vois ?

Oui.

Voilà voilà !

Donc les techniques pour calculer une limite, je les rappelle rapidement à l’oral :

Tu as la factorisation par le terme qui varie le plus, quand tu as une fraction rationnelle par exemple, très très rapidement. Donc <Calcul mathématique>. Pour calculer les limites de cette suite, et bien tu factoriserais en haut par n au cube, en bas par n au carré, et donc finalement, la limite de Un, tu vois je ne mets même pas quand n tend vers plus l’infini parce que c’est forcément ça dans les suites, et bien c’est la limite de n au cube, c’est ça que tu démontrerais, quand tu factorises en haut par n au cube et en bas par n², sur n². Et <Calcul mathématique>. Donc la limite de Un c’est la limite de n. Tu comprends un petit peu ce que je veux te dire ?

Oui.

Donc, la limite de n c’est plus l’infini. La limite de cette suite ce serait plus l’infini. Ça c’est une première technique pour calculer une limite. Ensuite une deuxième technique quand tu as une racine carrée, tu peux multiplier par l’expression conjuguée. Bon, je ne vais pas tout rappeler ici, mais en gros tu as des techniques pour calculer des limites et tu peux utiliser ces techniques pour les suites, pour le calcul d’une limite pour une suite.