Terminale S Résolution équation différentielle du 1er ordre
- par Romain
- dans Dérivation, Équations différentielles, Fonction exponentielle, Terminale S
- sur 30 janvier 2012
Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, niveau Terminale S, nous expliquons la méthode pour résoudre une équation différentielle du 1er ordre.
1ère vidéo : On trouve TOUTES les fonctions solutions de l’équation différentielle
2ème vidéo : On trouve LA solution parmi toutes les fonctions
Il faut d’abord résoudre l’équation sans la constante, donc trouver toutes les fonctions mathématiques qui sont solution de l’équa diff sans la constante.
Puis, pour trouver toutes les fonctions solutions de l’équation différentielle initiale, il suffit d’en trouver une particulière, une seule en fait, pour cette équation initiale.
Et de l’ajouter à toutes les solutions de l’équation différentielle sans la constante. C’est un théorème du cours 😉 !
Transcription texte de la vidéo | SelectMontrer> |
---|---|
Lorsque tu es face à une équation différentielle comment trouver la solution qui te convient?, c’est-à-dire qui respecte les conditions initiales où les conditions en un point particulier Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV, Aujourd’hui nous avons une équation différentielle notée E, donc c’est une équation un peu particulière, dont la solution, tu sais que ce n’est pas un nombre x, mais une fonction. Et cette fonction souvent on la note y. Donc l’équation différentielle c’est : Très bien. De cette équation il va falloir déterminer la solution notée f de E dont la courbe représentative admet une tangente de coefficient directeur 3 au point d’abscisse 0. Vu comme ça la question est un petit peu à rallonge entre guillemets…En réalité ce qu’il faut faire c’est s’attaquer à trouver les solutions en général de cette équation -on pourrait enlever toute cette partie inférieure de l’énoncé- et ensuite on pourra s’attaquer à cette partie inférieure et répondre à la question qui nous est posée. Voilà, tu vois?, égale mais sans le 2 Ca se note aussi en passant le y et le 3 de l’autre côté ou y´(dérivée de la fonction que l’on recherche, la fonction inconnue) est: Et tu connais les solutions en générale de cette équation différentielle En effet sur ta copie tu écrirais vu que cette équation différentielle, n’est pas la même mais on va y revenir ensuite, mais est de la forme: alors ses solution sont c, c’est une constante réelle, je le mets là C appartient à R, un nombre réel C exponentiel a x Les solutions sont les fonctions exponentielles avec un coefficient multiplicateur devant, un nombre réel, et ici la fonction exponentielle est modulée par ce paramètre a. Dans ce cas-là a vaut -1/3. C’est pour ça que j’ai transformé l’équation différentielle en celle-ci, parce que ça se ressemble à celle-ci avec a= -1/3. Toutes les solutions de cette équation différentielle, c’est vraiment toutes…pour quoi? parce que C est la constante réelle que tu veux, du moment où tu écris que C appartient à R, n’importe quel nombre réelle, tu as bien toutes les solutions. Donc en s’attaquant à cette équation différentielle on obtient déjà une bonne partie des solutions de cette équation-là. Tout simplement parce que cette équation différentielle est presque la même que celle-ci mais il y a un 2. En fait, on va faire la même opération, on va isoler le y´ On obtient: Et maintenant il y a une chose très importante que l’on va utiliser et qu’il te faut savoir à mon avis pour le bac et qui est: Les fonctions qui sont solutions de cette équation-ci, ce sont les solutions de cette équation-là à laquelle ajoutes une solution particulière de cette équation. Le mot une ici est très important, juste une solution particulière Et bien, comme on va trouver une solution particulière de E? Alors regarde, on va observer l’équation E: Ca veut dire que quand on va prendre la dérivée de ta fonction faut la multiplier par 3, tu ajoutes à ta fonction et ça va donner 2. Dit comme ça peut paraîte compliquée mais en réalité il y a une fonction tout simple qui vérifie ceci. Et cette fonction et une constante. On va la noter g de x égal alfa. On cherche une fonction particulière de cette fonction qui vaut alfa. On va injecter g dans l’équation. Si g est solution de E. Ca équivaut à ceci: Je ne fais que remplacer y par g(X) Alors, si g(x) est une fonction constante égale à alpha alors sa dérivée et nulle. On le revivifié si tu veux: 3 dérivé d’alpha , 3 fois zéro, plus alpha, 2 et bien, ça vaut 2 Donc là ce que l’on obtient comme solution générale de l’équation différentielle E ce sont les fonctions suivantes
Et maintenant on va s’attaquer à la deuxième partie de la question. Equation différentielle 2 Dont la deuxième partie de la question… Alors il faut déterminer « la » solution – cet article défini est très important , « la », car ça veut dire qu’il n’y a qu’une-, qui correspond à la condition suivante: la solution f d’E courbe représentative admet une tangente de coefficient directeur 3 au point d’abscisse 0. (Avant on a trouvé toutes les solutions d’E et maintenant il faut trouver celle que vérifie ceci). Il faut traduire ce que ça vaut dire, tout ceci en français, en mathématique. Donc généralement dès que tu entends droite tangente et ensuite, coefficient directeur, ce qu’il y a derrière est la notion de nombre dérivé (y´). Car la notion de nombre dérivée (f´en a) est justement le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de f au point a. Il faut traduire cet énoncé de la façon suivante: On a la courbe de f Ici on a la abscisse 0, je vais faire un axe des x Ici imaginons que l’on l’abscisse 0 Donc ici, au point de la courbe à la abscisse 0, c’est ici, on a une tangente de coefficient directeur est 3 Donc la tangente est la droite que je vais tracer tout de suite Et cette droite verte qui a une équation de la forme y= ax + b (comme tu sais pour toute droite, depuis le collège) Là on a fait une bonne traduction de notre énoncé. mais est-ce que cela va être vraiment exploitable?On a toutes les f mais nous on cherche seulement une seule f, la f qui vérifie cette condition, une tangente de coefficients directeur 3 au point d’abscisse 0. Comment va-t-on la trouver? C’est quoi finalement les données? 1) Ca c’est la première donnée que l’on a trouvé à l’issue de cette équation différentielle et ça c’est la seconde donnée, que l’on a traduit à partir de l’énoncé. Donc là, à partir de ces deux données-là on va trouver l’élément qui nous manque, le but de la question, la petite fonction f en bleu ici? Et comment on va la trouver? Et bien, on va combiner les deux. On a toutes les f ici. f´(x) = Je te rappelle que la dérivée d’une exponentielle est égale à Une fois qu’on a utilisé cette règle on obtient: f´(x) C est une constante, pas de problème.. Et là, on a dérivé f mais on n’a pas encore utilisé la condition orange. C’est une donnée importante. e 0 ça vaut comment? C’est toit simplement, 1 Ca vraiment il faut se souvenir que ça vaut 1. Combien vaut ta constante C? En passant le 3 de l’autre côté, en multipliant par 3 dès 2 côtés on obtient tout simplement C= -9 La fonction qui est solution d’E, c’est à dire, qui a cette forme-là et qui en plus a une tangente au point zéro de coefficient directeur 3, f´(0)= 3 est celle-là et dont la constante vaut 9. Donc cette f est la seule fonction qui marche. Donc voilà, c’est celle-là la fonction qui nous recherchions, il n’y a pas d’autre, depuis le départ. Donc voilà tu vas me dire, merci Romain, c’était un joli exercice de maths, je pense avoir compris à peu près..à quoi ça sert ce genre de choses? A quoi ça sert de déterminer une solution particulière d’une équation différentielle? Alors, pour une fois, une fois n’est pas coutume, je vais te dire à quoi ça sert. Et ces équations, on nec cherche pas toutes les solutions, on cherche la fonction solution qui respect une ou deux conditions. Tu ne cherches pas toutes les solutions mais une. E, physique souvent on cherche les conditions initiales, à l’origine. Par exemple, tu as lancé la balle à la vitesse au temps t = 0 v= 2m/s Exemple d’utilisation de ce genre d’exercice, en occurrence en Physique-Chimie, outre qu’en mathématiques. J’espère que tu as bien compris. On peut isoler le y´ Le b ici c’est 2/3 Elle devient du type: y´= ay Et les solutions de cette équation différentielle ce sont toutes les fonctions du type: Et ensuite tu ajoutes à toutes ces fonctions-solutions, une solution particulière. Et la solution particulière est facile à trouver car une fonction constante marche. Tu la nommes par exemple alfa, comme on a fait, et on a trouvé que alfa=2, ça marche Et puis, pour trouver la fonction-solution qu’on nous demande il faut traduire en termes mathématiques les conditions. Ici c’était le coefficient directeur de la tangente égal à 3 à la abscisse 0 , ce qui veut dire f´(0)=3. J’espère que tu as bien compris et je te dis à bientôt sur nos nouvelles aventures sur Star en Maths TV |
Tags: équation différentielle, résolution équation différentielle, résoudre, solution équation différentielle
4 réponses
Bonjour Romain,
Une autre méthode (qui revient certes au même) :
Une solution de l’ED suivante : y’=ay+b
Est pour tout réel x de la forme:
y(x)=Ce^ax-b/a pour C appartenant à R
Cordialement
Oui, merci pour ton commentaire Olivier 🙂
En fait, ce que tu m’indiques est le résultat des 2 étapes que je vous propose. Pourquoi ne pas le connaître effectivement 🙂
Romain
Je suis tombé sur ça au bac blanc de maths et je savais plus
comment on faisait pour résoudre les équations diff’ alors qu’il y avait 4 mois j’savais
le faire. J’étais dégoûte, parce que pour des questions comme ça, bêtes,
j’aurais pu gagner des poins x) tant pis ^^
je suis désolé de te poser cette question mais je suis en Terminale S dans un établissement sous contract et j’ai vu avec mon professeur les éxponentielles mais pas les équations différencielles . j’aurai aimé savoir quand est-ce que l’on voit ce type d’équation, dans quel chapitre
Merci