Terminale S Résolution équation différentielle du 1er ordre

Lorsque tu es face à une équation différentielle comment trouver la solution qui te convient?, c’est-à-dire qui respecte les conditions initiales où les conditions en un point particulier

Bonjour à toi et bienvenue sur Star en Maths TV,

Aujourd’hui nous avons une équation différentielle notée E, donc c’est une équation un peu particulière, dont la solution, tu sais que ce n’est pas un nombre x, mais une fonction. Et cette fonction souvent on la note y. Donc l’équation différentielle c’est :

Très bien. De cette équation il va falloir déterminer la solution notée f de E dont la courbe représentative admet une tangente de coefficient directeur 3 au point d’abscisse 0.

Vu comme ça la question est un petit peu à rallonge entre guillemets…En réalité ce qu’il faut faire c’est s’attaquer à trouver les solutions en général de cette équation -on pourrait enlever toute cette partie inférieure de l’énoncé- et ensuite on pourra s’attaquer à cette partie inférieure et répondre à la question qui nous est posée.
Mais vraiment dans un premier temps ce que je te propose est de trouver toutes les solution de cette équation différentielle. C’est une équation que tu connais et que tu as dû sûrement voir en terminale S. Puisque en fait elle ressemble à la suivante:

Voilà, tu vois?, égale mais sans le 2

Ca se note aussi en passant le y et le 3 de l’autre côté

ou y´(dérivée de la fonction que l’on recherche, la fonction inconnue) est:

Et tu connais les solutions en générale de cette équation différentielle

En effet sur ta copie tu écrirais vu que cette équation différentielle, n’est pas la même mais on va y revenir ensuite, mais est de la forme:

alors ses solution sont

c, c’est une constante réelle, je le mets là C appartient à R, un nombre réel

C exponentiel a x

Les solutions sont les fonctions exponentielles avec un coefficient multiplicateur devant, un nombre réel, et ici la fonction exponentielle est modulée par ce paramètre a. Dans ce cas-là a vaut -1/3. C’est pour ça que j’ai transformé l’équation différentielle en celle-ci, parce que ça se ressemble à celle-ci avec a= -1/3.

Toutes les solutions de cette équation différentielle, c’est vraiment toutes…pour quoi? parce que C est la constante réelle que tu veux, du moment où tu écris que C appartient à R, n’importe quel nombre réelle, tu as bien toutes les solutions.
Je veux le noter:

Donc en s’attaquant à cette équation différentielle on obtient déjà une bonne partie des solutions de cette équation-là.
Pour quoi?

Tout simplement parce que cette équation différentielle est presque la même que celle-ci mais il y a un 2. En fait, on va faire la même opération, on va isoler le y´

On obtient:

Et maintenant il y a une chose très importante que l’on va utiliser et qu’il te faut savoir à mon avis pour le bac et qui est:

Les fonctions qui sont solutions de cette équation-ci, ce sont les solutions de cette équation-là à laquelle ajoutes une solution particulière de cette équation.
Les solutions en général sont: , ces contions là,
qui sont en fait solution de cette solutionn de cette équatuion-là à laquelle tu as juste enlevé la constante 2/3 plus, et, ceci est est très important, une solution particulière de E, l’équation que l’on a noté comme E.
Ceci est un théorème de ton cours, on utilise son résultat ici.
Toutes les solutions de cette équation différentielle E, ça va être:

Le mot une ici est très important, juste une solution particulière
Il suffit de trouver n’importe quelle fonction qui marche, qui vérifie cette équation pour déterminer toutes les solution de cette équation. Il te suffira d’ajouter cette fonction rouge, enfin, ces fonctions car la constant C peut changer comme tu le souhaites, C appartient à R, elle peut être -2, -1000, +7,.-3,5…peu importe.

Et bien, comme on va trouver une solution particulière de E? Alors regarde, on va observer l’équation E:

Ca veut dire que quand on va prendre la dérivée de ta fonction faut la multiplier par 3, tu ajoutes à ta fonction et ça va donner 2. Dit comme ça peut paraîte compliquée mais en réalité il y a une fonction tout simple qui vérifie ceci. Et cette fonction et une constante. On va la noter g de x égal alfa.

On cherche une fonction particulière de cette fonction qui vaut alfa.
Et comment trouver ce alpha?

On va injecter g dans l’équation.

Si g est solution de E. Ca équivaut à ceci:

Je ne fais que remplacer y par g(X)

Alors, si g(x) est une fonction constante égale à alpha alors sa dérivée et nulle.
Et il ne nous reste que g(x) = alpha = 2
Ca veut dire alpha=2
Donc tu obtiens une solution particulière de E qui est alpha égal à 2.

On le revivifié si tu veux:

3 dérivé d’alpha , 3 fois zéro, plus alpha, 2 et bien, ça vaut 2
Ca marche

Donc là ce que l’on obtient comme solution générale de l’équation différentielle E ce sont les fonctions suivantes
(ceci je vais le noter là)

+ use solution particulière , et la solution particulière que l’on a trouvé, qui est 2
Voilà, toutes les solutions de l’équation

Et maintenant on va s’attaquer à la deuxième partie de la question.

Equation différentielle 2

Dont la deuxième partie de la question…

Alors il faut déterminer « la » solution – cet article défini est très important , « la », car ça veut dire qu’il n’y a qu’une-, qui correspond à la condition suivante: la solution f d’E courbe représentative admet une tangente de coefficient directeur 3 au point d’abscisse 0.

(Avant on a trouvé toutes les solutions d’E et maintenant il faut trouver celle que vérifie ceci).

Il faut traduire ce que ça vaut dire, tout ceci en français, en mathématique. Donc généralement dès que tu entends droite tangente et ensuite, coefficient directeur, ce qu’il y a derrière est la notion de nombre dérivé (y´). Car la notion de nombre dérivée (f´en a) est justement le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de f au point a.

Il faut traduire cet énoncé de la façon suivante:

On a la courbe de f

Ici on a la abscisse 0, je vais faire un axe des x

Ici imaginons que l’on l’abscisse 0

Donc ici, au point de la courbe à la abscisse 0, c’est ici, on a une tangente de coefficient directeur est 3

Donc la tangente est la droite que je vais tracer tout de suite

Et cette droite verte qui a une équation de la forme y= ax + b (comme tu sais pour toute droite, depuis le collège)
Et bien le coefficient directeur est a, ou y´ou pente qui est l’autre mot, est égale à 3
f´de 0 (je vais le noter ici en orange) est la dérivé, qui est la même chose que le coefficient directeur, et est 3, nous le dit l’énoncé

Là on a fait une bonne traduction de notre énoncé. mais est-ce que cela va être vraiment exploitable?On a toutes les f mais nous on cherche seulement une seule f, la f qui vérifie cette condition, une tangente de coefficients directeur 3 au point d’abscisse 0. Comment va-t-on la trouver?
On va tout simplement dire qu’il faut que f respecte a f´(0)= 3 , cette condition en orange.

C’est quoi finalement les données?
Ca c’est la première donnée:

1) Ca c’est la première donnée que l’on a trouvé à l’issue de cette équation différentielle

et ça c’est la seconde donnée, que l’on a traduit à partir de l’énoncé.

Donc là, à partir de ces deux données-là on va trouver l’élément qui nous manque, le but de la question, la petite fonction f en bleu ici? Et comment on va la trouver? Et bien, on va combiner les deux.

On a toutes les f ici.
On va essayer de dériver tout cela:

f´(x) = (dérivés)

Je te rappelle que la dérivée d’une exponentielle est égale à avec a ici, dans notre cas est -1/3

Une fois qu’on a utilisé cette règle on obtient:

f´(x)

C est une constante, pas de problème..
Et voilà:
f´(x) =

Et là, on a dérivé f mais on n’a pas encore utilisé la condition orange. C’est une donnée importante.
On remplace x par 0 partout ici et on obtient f´(0)

e 0 ça vaut comment? C’est toit simplement, 1 Ca vraiment il faut se souvenir que ça vaut 1.

Combien vaut ta constante C?

En passant le 3 de l’autre côté, en multipliant par 3 dès 2 côtés on obtient tout simplement C= -9
Et là, c’est fini.

La fonction qui est solution d’E, c’est à dire, qui a cette forme-là et qui en plus a une tangente au point zéro de coefficient directeur 3, f´(0)= 3 est celle-là et dont la constante vaut 9.

Donc cette f est la seule fonction qui marche.

Donc voilà, c’est celle-là la fonction qui nous recherchions, il n’y a pas d’autre, depuis le départ.

Donc voilà tu vas me dire, merci Romain, c’était un joli exercice de maths, je pense avoir compris à peu près..à quoi ça sert ce genre de choses? A quoi ça sert de déterminer une solution particulière d’une équation différentielle?

Alors, pour une fois, une fois n’est pas coutume, je vais te dire à quoi ça sert.
Ca sert beaucoup en Physique-Chimie. Il y a souvent des lois, par example, en mécanique, qui font intervenir des dérivés. Et bien, lorsque l’on traduit un problème physique dans des termes mathématiques; tu vas obtenir des équations différentielles.

Et ces équations, on nec cherche pas toutes les solutions, on cherche la fonction solution qui respect une ou deux conditions. Tu ne cherches pas toutes les solutions mais une. E, physique souvent on cherche les conditions initiales, à l’origine. Par exemple, tu as lancé la balle à la vitesse au temps t = 0 v= 2m/s
Donc voilà, ça c’est la condition qui te permettrait de déterminer la fonction qui correspond à la vitesse ou la trajectoire de la balle; tu vois ce que je veux dire?

Exemple d’utilisation de ce genre d’exercice, en occurrence en Physique-Chimie, outre qu’en mathématiques.

J’espère que tu as bien compris.
En gros quand tu as une équation différentielle de cette forme-là:

On peut isoler le y´

Le b ici c’est 2/3
Déjà, tu enlèves la constante, tu enlèves le 2/3, et tu résous cette équation différentielle.

Elle devient du type:

y´= ay

Et les solutions de cette équation différentielle ce sont toutes les fonctions du type:

Et ensuite tu ajoutes à toutes ces fonctions-solutions, une solution particulière.
Il ne faut pas s’embrouiller ici, c’est un théorème qui aide beaucoup

Et la solution particulière est facile à trouver car une fonction constante marche. Tu la nommes par exemple alfa, comme on a fait, et on a trouvé que alfa=2, ça marche

Et puis, pour trouver la fonction-solution qu’on nous demande il faut traduire en termes mathématiques les conditions. Ici c’était le coefficient directeur de la tangente égal à 3 à la abscisse 0 , ce qui veut dire f´(0)=3.

J’espère que tu as bien compris et je te dis à bientôt sur nos nouvelles aventures sur Star en Maths TV