Comment résoudre une équation dans les nombres complexes par le calcul ?
Bonjour à toi et bienvenu dans ce nouveau cours star en maths. Ici Romain j’espère que tu vas bien.
Alors nous voici devant la question suivante. Il faut résoudre l’équation suivante dans C par le calcul donc par la méthode vraiment du calcul.
C c’est l’ensemble des nombres complexes que l’on voit en terminale.
Donc cette équation c’est (z-2) le tout sur (z-3) égal i.
Alors les nombres complexes sont formidables puisqu’ils nous permettent de voir la géométrie d’une nouvelle façon.
Ça permet, c’est pour ça qu’une fois qu’on voit les nombres complexes après on voit la géométrie complexe, parce que ça permet de faire plein de démonstrations géométriques.
Donc c’est vraiment un outil formidable.
Donc là on a vraiment à faire à une question typique que tu pourrais rencontrer, si tu es en terminale, au baccalauréat.
Donc c’est vraiment une question classique, on te demande de résoudre cette équation par le calcul.
z-2, le tout sur z-3 égal i.
Je dirais qu’il y a deux façons de faire. IL y en a une qui est plutôt rapide même s’il y a des petites techniques à opérer.
Et l’autre qui est un petit peu plus longue et à laquelle peut-être tu penserais. C’est tout simplement de transformer z en x+y.
Parce qu’un nombre complexe c’est toujours transformable en sa forme algébrique donc z on peut toujours l’écrire x+y.
Alors je n’ai pas dit une chose importante. Résoudre une équation : qu’est-ce que ça veut dire ?
Et bien, en fait, ce que tu cherches -il faut toujours se demander ce que tu cherches dans un exercice- c’est z. Quelle valeur il peut avoir ce z. C’est l’inconnu z.
Donc le z, si tu le notes x+y, tu chercheras le x et le y.
Donc là on va voir une première façon de faire, toujours par le calcul et ensuite on verra une deuxième façon.
Ce que je te propose de faire c’est de garder le z tel quel. Et là, une des premières choses que je pense que tu ferais c’est d’essayer de te débarrasser de ce quotient.
Donc on peut passer le z-3 à droite et donc on obtient :
« Calcul mathématique »
Tu peux développer à droite et tu obtiens la nouvelle équation :
« Calcul mathématique »
Et une fois dans cette situation, ce que je te propose de faire, c’est tout simple, c’est quelque chose que tu faisais déjà en seconde : c’est de regrouper les z ensemble.
En seconde tu te souviens tu avais des équations du premier degré, avec des x et ce qu’on essayait de faire c’était de regrouper, dans un premier temps les x. Et après d’isoler le x d’un coté du =.
Et bien c’est vraiment ce qu’on va faire dans cette première méthode. Donc on obtient :
« Calcul mathématique »
Maintenant comment regrouper les z ? Là on les a rassemblés mais comment faire en sorte d’avoir un seul z ?
Là ce que tu peux faire c’est tout simplement factoriser par z à gauche. On obtient :
« Calcul mathématique »
Si tu n’es pas sûr de ta factorisation, il faut tout simplement redévelopper. Et on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc ça marche bien cette factorisation. Et là, l’intérêt c’est vraiment d’avoir fait apparaitre le z une seule et unique fois.
Donc là on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc là à ton avis qu’est-ce qu’il faut faire maintenant ?
Et bien ce que je t’encourage à faire c’est de passer le fois 1-i qui est vraiment un nombre complexe de l’autre coté.
Alors comment on passe un nombre de l’autre coté ? Et bien là, vu qu’il est en facteur, il faut diviser par 1-i. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Une fois dans cette situation on peut se dire que c’est finit, qu’on a trouvé la solution. Apparemment il n’y a qu’une seule solution pour z et c’est ce nombre là.
Alors généralement dans les nombres complexes, on n’aime pas trop les nombres complexes avec du i en dessous.
Donc on essaie d’enlever le i en-dessous. Et une technique, je pense que tu l’a déjà vue, qui permet d’enlever le i du dénominateur, c’est de multiplier la fraction en haut et en bas par le même nombre.
Tu sais que quand tu multiplies n’importe quelle fraction par un même nombre en haut et en bas, ça ne change pas la fraction.
Donc là, tu peux multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur c’est-à-dire 1+i. Tu prends l’opposé du nombre qu’il y a devant le i. C’est ça l’opération pour obtenir le conjugué d’un nombre complexe.
Et donc, tu multiplies par le conjugué. Il faut bien mettre des parenthèses, c’est vraiment important.
Et là, l’intérêt, c’est vraiment d’enlever le i puisque ça va vraiment enlever le i du dénominateur.
ET pourquoi ? Parce qu’en fait z moins z barre, ça vient d’une relation du cours qui est facile à démontrer.
z fois z barre ça vaut le module de z au carré. Autrement dit si z s’écrit x+y ça vaut :
« Formule mathématique »
Et sachant que x et y dans la forme algébrique sont deux nombres réels, et bien là ça te donnera un nombre réel positif.
Donc tu vois que ça, ça appartient à R+, il n’y a donc plus de i dans ce nombre là. C’est pour ça que ça permet d’enlever le i.
Donc ça c’est une relation très facilement démontrable. Là on a quasiment fait la démonstration. Il suffit de développer si tu veux.
Si tu développes vraiment à la main ce que tu as en dessous et bien tu vas obtenir vraiment ce nombre x2+y2.
Nous on va juste utiliser la formule mais si tu n’es pas sûr, tu peux vraiment redévelopper, il n’ya pas de problème.
Donc on va obtenir, sachant que le x, c’est 1 et le y c’est -1 :
« Calcul mathématique »
En haut, qu’il reste du i ou pas on s’en fiche un petit peu. Le principal but c’était d’enlever le i du dénominateur. C’est ce qu’on voulait faire par cette petite opération de multiplication en haut et en bas par 1+i.
IL faut être bien concentré, je pense que tu le sais, dans tous les petits calculs en math parce que s’il y a la moindre erreur, de recopie, de signe ça fausse tout le calcul.
Donc ça y est on obtient notre nombre. Ça donne :
« Calcul mathématique »
Tu peux l’écrire sous sa forme algébrique : z=5/2-1/2i
Voilà notre solution.
Bon en tous cas j’espère que tu auras bien compris cette première façon de faire.
Je pense que c’est la façon la plus facile à appliquer parce qu’on ne transforme pas le z.
Tu vois que ça va assez vite. Il y a juste quelques petites transformations c’est vrai mais ça va assez vite, on garde le z et à la fin on obtient z=
C’est vraiment la même façon de faire que ce que tu utilisais déjà pour les équations du premier degré.
Donc maintenant si tu as l’habitude, et des fois on en a besoin c’est vrai dans les nombres complexes, de changer z en x+y, et bien on va appliquer cette technique là et tu vas voir que ça marche très bien aussi.
Terminale S
Résoudre une équation dans les nombres complexes par le calcul.
Vidéo 2/2
Donc c’est parti. On transforme notre nombre z en x+iy. Enfin on le transforme… En tout cas c’est une écriture, c’est une notation.
On a toujours le droit d’écrire un nombre complexe sous sa forme algébrique.
Et là, notre inconnue ce n’est plus vraiment z, ça va être x et y. ça marche ?
Donc là, on reprend notre équation et on l’écrit en remplaçant z par ce qu’on a noté comme étant x+iy.
Donc notre équation équivaut à la nouvelle équation :
« Calcul mathématique »
Donc là, ce que tu peux faire, c’est un petit peu ce qu’on avait fait avant, tu peux très bien passer le dénominateur à droite.
En fait il faut multiplier le i par x+iy-3
Donc c’est parti. On obtient :
« Calcul mathématique »
Là on va développer. On obtient :
« Calcul mathématique »
Voilà, j’espère que tu comprends jusque là. IL n’y a vraiment rien de sorcier je pense.
Donc tu peux reporter ça donc :
« Calcul mathématique »
Et là, en fait, comment on va avancer ?
Alors c’est là qu’il va falloir comprendre un petit peu.
On va utiliser une propriété du cours qui dit que dès que tu as un nombre complexe A+iB qui vaut 0, ça équivaut à A=0 et B=0.
C’est à dire qu’un nombre complexe nul, qui vaut 0, ça veut dire que sa partie réelle A et sa partie imaginaire, les 2 valent 0.
Donc là, on va essayer d’obtenir un nombre complexe égal à 0.
Donc on va tout passer d’un coté si tu veux. C’est vraiment ça qu’on va utiliser. C’est lié à la propriété d’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.
Bon on va pas trop rentrer dans les détails, mais en tout cas ce qu’il faut comprendre c’est que cette forme algébrique d’un nombre complexe en général x+iy, elle est unique.
C’est-à-dire qu’il existe un unique -ça se note comme ça en maths, avec un point d’exclamation- x appartenant à R et il existe un unique y appartenant à R tels que z s’écrive comme ça.
Et cette propriété d’unicité fait que quand un nombre complexe est égal à 0, forcément c’est 0+0i, c’est-à-dire que sa partie réelle et sa partie imaginaire valent 0.
Voilà c’est une explication un petit peu rapide. En tout cas nous on va essayer d’obtenir quelque chose égal 0
Donc là on va essayer de tout passer à gauche, par exemple, et on va ordonner.
Donc d’abord la partie réelle, ça va être :
« Calcul mathématique »
Puis notre partie imaginaire, on va entourer par exemple en orange, ce qui est en facteur du i. Donc i fois :
« Calcul mathématique »
Et à droite tu mets bien le égal 0.
Donc là tu obtiens bien un nombre complexe nul c’est-à-dire quelque chose A+iB=0
C’est quoi le A ? C’est tout ça. C’est ça la partie réelle. Je te rappelle qu’une partie réelle ou une partie imaginaire dans un nombre complexe ce sont vraiment des nombres réels.
Donc il n’y a pas de i. Dans le x et le y, ce sont des nombres réels, il n’y a pas de i dedans. Donc là, dans le A, évidemment il n’y a pas de i.
Donc ça c’est vraiment important parce que parfois, on peut essayer dans certains exercices, de piéger là-dessus.
Et ensuite, au niveau du B, et bien c’est pareil, il n’y a pas de i dedans. Je te rappelle que ce B c’est la partie imaginaire, c’est ce qui est en facteur du i donc il ne faut pas compter le i dans le B.
Donc là dans le B, il y a du y, du x, du 3, pas de i.
Donc là on va utiliser cette propriété et on va obtenir 2 petites équations à 2 inconnues qui sont x et y.
Donc on obtient un système de deux équations à deux inconnues et là ça nous donne :
On peut remettre le symbole « équivalant »
« Calcul mathématique »
Donc là il suffit juste de résoudre ce petit système.
J’espère que tu te souviens comment on résout un système de deux équations à deux inconnues, et même en général comment on résout un système.
Alors moi je me souviens que quand j’étais au lycée je n’utilisais qu’une seule méthode, c’était la méthode par substitution.
C’est-à-dire que je prenais la première équation, et j’essayais d’obtenir x égal quelque chose et je remplaçais dans la deuxième.
Parce que la méthode par combinaison de lignes, je l’ai comprise qu’un peu plus tard. Pourtant ce n’est pas vraiment plus compliqué mais je ne l’utilisais pas en lycée.
En tout cas, là, je te propose de faire par substitution donc on va exprimer x en fonction de y donc on obtient d’après cette première ligne :
« Calcul mathématique »
Et on remplace dans la 2ème ligne. Donc on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc c’est ça la méthode par substitution. C’est quelque chose de tout simple je pense et on obtient une équation très simple à résoudre puisque c’est une équation à une seule inconnue et du premier degré en plus puisqu’il n’y a pas de carré, il n’y a pas de chose difficile ici.
Donc on obtient :
« Calcul mathématique »
Ça y est on a le y. Et pour obtenir le x, on reprend notre expression de x en fonction de y, c’est-à-dire ceci, et on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc finalement notre nombre complexe z, notre solution, S= -tu peux toujours conclure comme ça quand tu résous une équation- donc là c’est l’unique nombre, il n’y a qu’une solution, c’est un nombre complexe, c’est 5/2-1/2i.
Evidemment on retombe sur la solution que nous avions trouvée précédemment.
Bon je trouve que cette façon de faire est un petit peu plus longue quand même. C’est un petit peu plus fastidieux parce que plutôt que de chercher une seule inconnue qui est z, on en apporte 2.
Ce n’est pas forcément plus simple mais parfois, c’est utile, dans certains exercices, de passer par la forme algébrique de z, donc en notant z=x+iy
C’est vraiment pour ça que j’ai voulu te montrer cette façon de faire.
