Terminale S Résoudre une équation du troisième degré

1ère vidéo

Montrons que -i est solution de (E) !

2ème vidéo

Factorisons notre polynôme du troisième degré :

3ème vidéo

Enfin, on va résoudre l’équation du troisième degré à l’aide des questions précédentes :

Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, niveau Terminale S, pas à pas, nous allons résoudre une équation du troisième degré dans les nombres complexes.

J’ai subdivisé cet exercice de Maths en 3 questions simples.

Racine évidente

Nous recherchons déjà une racine évidente à notre équation du troisième degré qu’il nous faut résoudre. La racine évidente nous est même proposée :O !

Il suffit de remplacer z par ce nombre moins i et de démontrer que le tout à gauche donne bien zéro quand on fait la substitution de l’inconnue z par -i, qu’on nettoie et simplifie.

Ceci est très important car cela nous dit qu’on peut factoriser notre polynôme du troisième degré (c’est parce que nous avons ce polynôme du 3ème degré à gauche du égal que nous disons que nous avons à résoudre une équation du troisième degré) par z+i. Quel facteur va-t-il nous rester ?

Un polynôme du second degré bien sûr 😉 !

Méthode des coefficients indéterminés

Pour trouver entièrement le 2ème facteur, qui est un polynôme du 2nd degré, il suffit de développer et d’IDENTIFIER les coefficients devant z au cube, z au carré, z, puis les constantes !

Puis tu vas trouver tes coefficients a, b et c.

Ceci t’amène donc à la forme factorisée de ton polynôme du 3ème degré, génial non 😉 ??

Comment résoudre l’équation du troisième degré maintenant ?

Très simple ! Tu viens de factoriser ton polynôme du 3ème degré, super.

Maintenant, il faut trouver les racines de ce polynôme, c’est-à-dire les solutions de l’équation (E) finalement ! Et bien, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul !

Hop, terminé 😉 Ou presque …

z+i = zéro te redonne ta solution -i que tu avais trouvée à la 1ère question

Et le polynôme du 2nd degré égal à zéro te fournit deux solutions quand tu vas résoudre l’équation du 2nd degré dans les nombres complexes associée … Il suffit de calculer delta, et de regarder son signe, et d’appliquer tout simplement ton cours de Mathématiques 😉

Delta est positif stricement, donc les solutions sont réelles.

Tu trouves 3 solutions complexes (car une solution réelle est aussi un nombre complexe ; ) à ton équation du troisième degré. Facile à résoudre, non ?

Romain