Terminale S Résoudre une inéquation avec fonction exponentielle

Comment résoudre une inéquation dans R ou apparait la fonction exponentielle ?
Bonjour à toi et bienvenu sur star-en-maths TV ici Romain.

Dans l’exercice d’aujourd’hui nous avons un exercice de niveau terminale S avec une inéquation qu’il faut résoudre dans R.
Cette inéquation est la suivante : 2 exposant x strictement inferieur à x+1.
Alors je te rappelle que résoudre une inéquation, c’est un petit peu comme résoudre une équation, ça signifie quelque part à la fin isoler le x.
Donc il faut obtenir x tout seul, d’un coté donc à gauche ou à droite du inferieur strict ici.
C’est toujours ça un petit peu l’objectif dans la résolution d’une inéquation ou d’une équation : isoler l’inconnue.

Alors après, selon le type d’équations ou d’inéquations que tu vas rencontrer, il y a différentes techniques qu’il faut employer pour les résoudre.
Alors là, déjà première chose on te dit de résoudre dans R cette inéquation.
Alors ça c’est une information importante puisque ça veut dire qu’on attend de toi des solutions réelles s’il y en a, et pas des solutions complexes avec des i ou quoi que ce soit.
Donc ça déjà c’est une chose qu’il faut préciser.

Ensuite, comment on va résoudre ce genre d’inéquation ?
Je te rappelle, résoudre une inéquation c’est isoler le x, c’est-à-dire obtenir x tout seul d’un coté.
Alors déjà le x ici il est des deux cotés, il est à gauche et il est à droite.
Alors le problème ici c’est que l’inconnue x elle apparait à l’exposant à gauche et elle apparait normalement à droite.
Donc pour l’isoler ça ne va pas du tout être facile parce que si tu veux regrouper les x ensemble, et bien par exemple tu vas passer les x de l’autre coté, tu vas obtenir :
2 exposant x moins x strictement inferieur à 1.
Et donc là tu vois tu as 2 exposant x moins x et tu ne peux pas vraiment regrouper les x ensemble, tu ne peux pas les ajouter ou quoi que ce soit.

Donc ce n’est pas vraiment ça qu’il faut faire. Mais à ton avis comment on va procéder ?
EN fait, pour résoudre cette inéquation nous allons utiliser une méthode, qui revient très souvent pour résoudre une inéquation.
Il s’agit de comparer un nombre à zéro, c’est-à-dire de chercher le signe d’un nombre en fonction de x, le signe d’une fonction de x.
Donc en fait, comment on va faire pour obtenir un zero dans cette inéquation, et bien il suffit de passer x+1, tout ceci, à gauche.
Donc c’est ce qu’on fait et on obtient la nouvelle inéquation mais qui est une inéquation équivalente.
2exposant x -x-1 strictement inferieur à 0.
Et ça c’est excellent, c’est vraiment une piste très intéressante pour résoudre ce genre d’inéquation.
Et c’est vraiment une méthode qui revient très souvent je te le rappelle : c’est essayer de comparer un nombre à 0, c’est-à-dire finalement chercher le signe d’un nombre.

Donc là il va s’agir de chercher en fait, quand est-ce que cette fonction de x, puisque là on obtient une fonction de x, que tu peux noter f(x), tout cela.
Quand est-ce que f(x), pour quels x donc, est strictement négative.
Et quand tu auras trouvé les x pour lesquels f(x) est strictement inferieure à 0, et bien tu auras résolu ton inéquation.
C’est exactement ça que je te propose de faire.

Alors maintenant tout le problème est transformé mais il reste toujours un problème, c’est comment on va trouver le signe de cette fonction f(x).
Bon alors là, au premier abord ce n’est vraiment pas facile de connaitre le signe de f(x) parce que tu as vu tu as 2 exposant x moins quelque chose moins quelque chose d’autre.
Donc là, une somme de choses en plus, c’est beaucoup moins facile de trouver le signe d’une somme de choses, je te le rappelle, que d’un produit de facteurs.
Donc généralement ce qu’on essaie de faire c’est de factoriser, mais là, factoriser ça ne parait pas du tout facile.
On ne pas ici factoriser notre expression.

Donc ce que je te propose de faire, pour trouver le signe de f(x), rappelle-toi toujours de l’objectif principal, et bien c’est tout simplement d’étudier cette fonction f.
Et comment on fait en terminale pour étudier une fonction f ?
Et bien généralement, on la dérive.

Et ça tombe très bien ici puisque notre fonction f, premièrement elle est définie pour tout x réel, c’est-à-dire que pour tout x réel, 2 exposant x moins x moins 1, c’est calculable.
D’accord ? Pour x=0, pour x=-10000, pour x=-1.5, x=1.5, tout ça, ça marche.
Et aussi, f est dérivable sur R. Pourquoi ? Parce que f est une somme de fonctions dérivables sur R.
C’est-à-dire que 2 exposant x, c’est dérivable sans problème sur R.
Rappelle-toi aussi que 2 exposant x, je vais le noter ici à droite, ça s’exprime en fonction de exponentielle et ln.
Donc 2 exposant x on l’appelle aussi une fonction exponentielle, c’est tout simplement exponentielle de xln2.
Sachant que xln2 tu peux aussi le noter ln2 exposant x.
Et rappelle-toi que l’exponentielle de ln de A et bien c’est A.
Donc ça c’est vraiment quelque chose dont il faut se rappeler. Avec A strictement supérieur à 0, sinon ln de quelque chose qui est inferieur ou égal à 0 ce n’est pas calculable.
Donc ça, ce sont deux règles à connaître.

Et donc c’est vraiment ce que nous allons utiliser ici, nous allons étudier notre fonction f, sachant que c’est une fonction dérivable comme on vient de le dire puisque c’est une somme de fonctions dérivables.
Comme je le disais, 2 exposant x c’est dérivable puisque ça s’écrit exponentielle xln2 et ça c’est vraiment une fonction dérivable, quand on l’écrit comme ça, ça se voit directement.
-x, c’est aussi une fonction dérivable et la fonction constante égale à -1 aussi.
Donc on va dériver f, on va étudier un petit peu les variations de f et ensuite on va vraiment dresser son tableau de signe et on va voir pour quels x, f(x) est strictement négative.

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Résoudre une inéquation avec fonction exponentielle
Vidéo 2/4
Etude le la fonction, calcul du signe de sa dérivée

Donc on le fait tout de suite.
Alors f'(x), c’est très simple c’est la somme de chaque sous-dérivée.
Je te rappelle que la dérivée d’une somme – donc la dérivée ici de 2 exposant x + (-x) + (-1), c’est une somme de trois termes – et bien c’est la somme des sous-dérivées.
Donc la somme de la dérivée de 2 exposant x, moins la dérivée de x moins la dérivée de 1.
Donc ça te donne :
La dérivée de 2 exposant x c’est la dérivée de ça, et la dérivée d’une fonction de ce type là, exponentielle ax, je mets tout ça au « prime », c’est tout simplement a, il faut passer le a devant, exponentiel ax.
Ton petit a ici c’est ln2. ln2 c’est un nombre constant donc pas de problème. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »

Alors maintenant on va étudier le signe de cette chose. Alors ça peut te paraitre un petit peu compliqué mais en fait ça ne l’est pas vraiment;
EN fait, tu vas voir qu’on va étudier le signe de f'(x) en se basant sur la fonction exponentielle tout simplement parce que cette fonction f’ c’est vraiment une fonction exponentielle.
Tu as un coefficient ici qui est ln2 fois exponentielle ax, avec le petit a qui est ln2, tu vois c’set vraiment une fonction exponentielle, et tu la descends de 1 verticalement.
Tu vois le fait de faire -1 comme ça, ça veut dire que tu descends la courbe de f’ de 1.

Si tu veux on peut tracer très rapidement l’allure de la courbe de f’ pour que tu vois bien comment se comporte cette fonction.
Donc là, je vais faire un repère orthonormé très rapidement : axe des x, axe des y, origine.
Je vais tracer très rapidement la courbe de la fonction exponentielle : tu te souviens, elle a une forme comme ceci.
Et là, quand x=0, la Courbe exponentielle C(x), elle vaut 1. Ici on peut le mettre si tu veux.

Et toi, ta fonction f’, c’est presque une fonction comme celle-ci sauf qu’elle est modulée par un coefficient et derrière il y a une espèce de décalage au niveau vertical.
Donc tous ses y vont être décalés de 1 vers le bas en faisant -1 ici.
Donc, pour x=0, qu’est-ce qu’on remarque ?
Et bien pour x = 0 tu vas obtenir ln2 parce que exponentielle de x fois ln2, ça va être exponentielle de 0, donc 1. Et ln2 fois 1 ça donne ln2, donc ln2-1.
Et ln2-1, il me semble que c’est un nombre négatif.
Et le fait que ln2-1, donc ici je calcule ce nombre quand x=0. Donc f'(0), donc ça vaut comme je te le disais ln2-1 et bien quand ça, c’est inferieur à 0, et bien ça veut dire que ta fonction f’, à un moment elle est négative.
Donc ça change un petit peu de la fonction exponentielle parce que la fonction exponentielle est toujours positive.

Donc là, ta fonction f’ elle est parfois négative.
Donc en fait, concrètement, il faudrait trouver l’endroit du changement de signe de f’.
Donc ce que je te propose de faire, c’est tout simplement de résoudre f'(x)=0. Donc c’est ce qu’on fait.
Ça c’était juste un petit calcul pour se rendre compte que, à un moment donné, même si la fonction f’ est une fonction exponentielle, et son allure va être quelque chose comme ça. Donc même si c’est une fonction exponentielle, on sait qu’elle est croissante, mais à un moment donné, elle peut être négative.
Donc on va vraiment chercher où est-ce qu’elle s’annule.
Donc f'(x)=0
« Calcul mathématique »

Donc maintenant ce qui est intéressant c’est de regarder un petit peu où est-ce qu’il est placé sur l’axe des abscisses ce nombre x0 un petit peu affreux.
Alors en fait, il faut regarder ici le 1/ln2. Alors rappelle-toi que ln2 c’est un nombre qui est inférieur à 1.
Pourquoi ? Parce que ln2, c’est inferieur à lne, tout simplement parce que 2 est inferieur à e. rappelle-toi que e est un nombre qui vaut à peu près 2.7.
Donc 2 et inferieur à e et donc ln2 est inferieur à lne parce que ln est croissante, rappelle-toi de cet argument.
Donc qu’est-ce qu’on peut dire ? C’est que 1/ln2, (lne ici, c’est 1), donc 1 sur ça, c’est tout simplement supérieur à 1 sur 1 donc 1.
Tu vois, j’espère que tu comprends un petit peu ce que je veux dire, tu as cette inégalité-là. Donc 1/ln2, c’est superieur à 1.

Donc ln de quelque chose qui est superieur à 1, c’est positif, et 1/ln2 c’est positif aussi.
Donc x0 c’est positif.
Donc je t’encourage toujours à te représenter quels sont les nombres que tu vas calculer quand tu as des fonctions exponentielle et ln parce qu’il faut savoir un petit peu déjà s’ils sont positifs, négatifs, comment ils se positionnent par rapport à 1.
C’est important de connaitre ces informations, et en l’occurrence ici c’est important parce que ça veut tout simplement dire que ton x0, et bien il est quelque part par là.
Donc ma courbe rouge en fait elle correspond bien à ce à quoi pourrait ressembler la fonction f’. Donc ici tu as x0, tu vois x0 tu peux bien le placer dans les nombres x positif.
Et donc pourquoi f’ ressemble à une courbe exponentielle ? Parce que c’est une courbe exponentielle tout simplement.
Tu as f'(x) qui est égal à, on va dire petit a, fois exponentielle de petit ax, le tout -1.
Bon, et bien voilà c’est une fonction vraiment exponentielle. ON est d’accord il y a des petits coefficients mais c’est une fonction vraiment exponentielle.

Et si tu n’en es pas convaincu, je t’encourage à l’étudier d’un petit peut plus près cette fonction f’.
Alors comment tu l’étudierais, et bien tout simplement tu pourrais la dériver, voir quel est le signe de sa dérivée et observer si elle est croissante, ou parfois décroissante etc. Observer les variations de f’.
En fait, tu trouverais que les variations de f’, c’est tout le temps croissante comme cette fonction bleue, c’est-à-dire comme cette fonction rouge, comme la fonction exponentielle.
Sauf qu’ici, la fonction f’, elle s’annule à un moment donné, elle est négative. C’est sur ces x là, que je vais faire apparaitre en vert.
Et maintenant qu’est-ce que ça veut dire quand tu reviens à notre fonction f. tu vois il faut revenir à notre fonction f quand-même, et bien ça veut dire que si sont f’ est négatif à un moment donné, et bien ça veut dire que la fonction f est décroissante.
Et à partir du moment où x est supérieur ou égal à x0, et bien tu observes que f’ est positive, donc f est croissante.

Donc voici le tableau des variations de la fonction f.
Tout simplement on va avoir la ligne x : donc moins l’infini, plus l’infini, tu peux faire apparaitre ton x0, sachant que je ne vais pas renoter à chaque fois ce nombre-là, x0 c’est ce nombre-là, parce que c’est vraiment un nombre affreux.
ET ici tu peux noter f'(x), disons même le signe de f'(x) : f'(x) s’annule pour x0, elle est négative avant et positive ensuite, tout simplement parce que la fonction f’, elle est croissante comme le montre bien son allure ici en rouge.
Donc une fois que tu as le signe de f’, tu as les variations de f mais rappelle-toi qu’on cherche le signe de f, pas vraiment ses variations mais bien sûr, ses variations vont nous servir.

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Vidéo 3/4
Etude de la fonction, calcul de ses variations

Donc là, les variations de f, donc là tu mets f, et pas f(x) parce que ce sont les variations de la fonction f que tu cherches. Et les variations de f(x), ça ne veut pas dire grand chose parce que f(x), c’est un nombre, c’est l’image de x par la fonction f.
Donc on ne parle pas de variation d’un nombre mais bien des variations d’une fonction.
Donc là ça décroit, et là ça croit. Et qu’est-ce que ça veut dire ?
Et bien ça veut dire que cette fonction f elle atteint un minimum pour x0.
Donc ici tu as f(x0). Voilà.

Et maintenant comment connaitre le signe de ta fonction f ? Le signe de f(x).
Et bien déjà ce que tu peux regarder, c’est son minimum. Est-ce que son minimum est positif par exemple.
Si son minimum est positif, qu’est-ce que ça voudra dire sur le signe de f ? Et bien ça voudra dire que f est positive tout simplement parce que son minimum est positif, tout simplement tous les f(x) ensuite sont au dessus du f(x0) qui est positif, donc ils sont positifs aussi.
Bon, on ne l’a pas démontré mais c’est quelque chose qu’il faut savoir.
Donc déjà il faudrait calculer f(x0) pour savoir son signe. Et si c’est négatif, il est probable qu’à un moment donné la fonction f passe par 0.
Mais il faut aussi étudier ses limites en moins l’infini et plus l’infini parce que si la fonction f quand x tend vers moins l’infini tend vers un nombre négatif, ou 0;
Et ici quand x tend vers plus l’infini, et bien pareil f(x) tend vers 0.Et bien ça veut dire que ta fonction f, elle est en dessous de l’axe des abscisses tu vois.
Donc il faut étudier premièrement ces deux limites quand x tend vers moins l’infini et plus l’infini, donc ça on va le faire très rapidement et ensuite le signe de f(x0).

Donc, dans un premier temps, les limites quand x tend vers plus l’infini et moins l’infini. On va le faire à l’oral très rapidement.
En fait, c’est assez simple, tu prends cette forme là de f(x), c’est vraiment l’expression de f(x) et là, 2 exposant x tu le remplaces par ceci exponentielle xln2.
Donc quand tu as une exponentielle avec un coefficient positif devant le x, ou juste après, c’est le ln2 ici, et bien c’est l’exponentielle qui « gagne » par rapport aux autres termes.
En fait pour le démontrer tu pourrais factoriser f(x) par 2 exposant x, et tu montrerais bien en fait que quand x tend vers plus l’infini, c’est l’exponentiel, c’est à dire 2 exponentielle x qui « gagne ».
Et quand x tend vers plus l’infini donc, la limite de f(x) c’est ce que je viens de dire, c’est que c’est la limite de 2 exponentielle x qui est plus l’infini.
Donc là on vient de démontrer qu’ici, c’est plus l’infini.

Et quand x tend vers moins l’infini, donc ici, et bien en fait, 2 exponentielle x, vers quoi ça tend ?
Et bien tout simplement quand x tend vers moins l’infini, tu remplaces x par moins l’infini là-dedans.
Et bien tu te souviens que l’exponentielle, regarde la courbe bleue ici, et bien quand x tend vers moins l’infini, elle tend vers 0;
Donc exponentielle xln2 aussi.
Donc ceci, ça tend vers 0, ceci, -x, ça tend vers plus l’infini quand x tend vers moins l’infini. Et -1 ça ne change pas le fait que ça tende vers plus l’infini.
Donc en fait la limite de f(x) quand x tend vers moins l’infini, c’est la limite de -x quand x tend vers moins l’infini, ce qui est en fait plus l’infini.

Donc là, maintenant 2ème temps, on va regarder le signe de f(x0) et pour ceci il faut le calculer :
Donc je remplace, c’est un petit peu ennuyeux à faire mais il faut le faire, je remplace x par tout ceci et on obtient :
« Calcul mathématique »
Donc comment on va connaitre le signe de f(x0) ? Et bien là, très rapidement je te recommande d’utiliser ta calculatrice et tu regardes le signe de 1-ln(1/ln2)-ln2
En fait, ce qu’on remarque c’est que c’est négatif. Donc en fait, en calculant ce nombre, f(x0), tu écrirais que ça vaut cela sur ta copie et tu écrirais que c’est négatif.

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Vidéo 4/4
Tableau de signe de la fonction et conclusion

Donc ça veut dire que ça, f(x0), on vient de dire que c’est négatif, donc qu’à un moment donné, vu que cette fonction f, elle est continue – tu vois quand tu traces sa courbe tu ne lèves jamais le crayon en fait, tu es obligé de rester toujours sur le papier – donc en fait à un moment donné, elle traverse, elle coupe l’axe des abscisses.
Tu vois, ici et aussi là.
Donc forcement cette fonction f elle s’annule en deux points qui sont, je vais le noter ici en mauve, x1 ici et x2 là.
Forcement à un moment donné elle s’annule pour ces x là.
Et ça c’est un petit peu le théorème des valeurs intermédiaires, peut -être que tu l’as vu.

Et en fait, pour quels x f(x) s’annule ?
Et bien en fait peut-être que tu peux les trouver très facilement en regardant le f(x).
Pour quels x ici f(x) s’annule ? Et bien remplace par des valeurs très très simples. Il faut toujours faire ça un petit peu sur une fonction.
Essaie de regarder un petit peu, de la palper un petit peu, d’essayer de voir pour quels x elle s’annule.
C’est toujours une bonne chose quand tu commences un exercice ou un problème avec une grande fonction que tu vas étudier, tu peux toujours essayer de la palper un petit peu comme ça.

Et bien regarde quand je remplace x par 0 j’obtiens 2 exposant 0, ça fait 1, moins 0 moins 1, ça fait 0;
Et bien tu as vu, on a déjà trouvé un x pour lequel f(x) s’annule, et ce x c’est 0. Donc en fait, ton x1, celui qu’on vient de trouver, c’est 0. Ça, c’est 0.
Voila, tu en as déjà trouvé un. Ensuite le 2ème, et bien essaie de remplacer x par 2.
Regardons ce que ça donne : ça donne 2 exposant 2 ça donne 4. 4-2 ça donne 2. 2-1 ça donne 1. Bon ça ne s’annule pas.
Essaie de remplacer maintenant par x=1. Donc 2 exposant 1 ça fait 2. 2-1=1 et 1-1=0. Et voilà.
Donc là tu trouves la deuxième valeur de x pour laquelle f s’annule. Et c’est 1.
Ces 2 valeurs là sont cruciales en fait.

Et à présent, après cette belle étude de fonction, on a toutes les informations pour répondre à la question.
Puisqu’on a démontré déjà que notre fonction f elle est décroissante dans un premier temps. Elle décroit jusqu’à son minimum qui est négatif. On l’avait démontré ici et ensuite elle recroit sur l’intervalle x0 jusqu’à +l’infini.
Et on a démontré que ses limites quand x tend vers moins l’infini et quand x tend vers plus l’infini, sont les mêmes limites, c’est plus l’infini. Tu vois, c’est les choses en rouge que j’ai mises ici.
Donc ça veut dire que vu que ta fonction f est continue -il faudrait le mettre aussi sur ta copie- à un moment donné elle passe par 0, elle s’annule non seulement sur l’intervalle moins l’infini ; 0, puisqu’elle part de plus l’infini et elle va jusqu’à un nombre négatif.
Donc forcement elle passe par 0. Et ce x pour laquelle elle passe par 0, on l’a noté dans un premier temps x1.
Et ensuite sur le deuxième intervalle donc x0 jusqu’à plus l’infini, c’est pareil : même raisonnement : elle part d’un nombre négatif et elle va jusqu’à plus l’infini donc forcement à un moment donné elle coupe l’axe des abscisses.
Et on a noté x2 le x pour lequel f s’annule sur cet intervalle.

Ensuite comment tu trouves ces x1 et x2 ? Et bien en fait en tâtonnant ici.
En fait plutôt que de résoudre f(x)=0, et bien tu tâtonnes, tu prends quelques valeurs de x, et tu vois si ça marche ou pas.
Rappelle-toi que c’est une technique qu’on retrouve lorsque tu as une équation polynomiale du troisième degré.
Généralement pour résoudre une équation polynomiale du 3ème degré, et bien on te demande de trouver une racine évidente du polynôme, ou une solution évidente de l’équation. Est-ce que tu te souviens de ce genre de question typique ?
Et bien ici c’est un petit peu la même chose, pour trouver les x pour lesquels f(x) s’annule, et bien tout simplement tu remplaces x par 0, -1 aussi on aurait pu essayer, 2, 1 etc.
Et en fait on a trouvé qu’elle s’annule pour deux valeurs, et ce sont forcement les 2 seules valeurs d’après toute notre étude.
Ces deux seules valeurs c’est x1 et x2 et en fait, en tâtonnant on trouve que c’est 0 et 1.

Et donc maintenant pour répondre enfin à la question, et bien tu peux tracer une troisième ligne à notre tableau, qui va indiquer tout simplement le signe de f(x).
Et le signe de f(x) et bien on vient de démontrer que c’est jusqu’à x1 : c’est +. Tu vois elle part de plus l’infini et elle va jusqu’à 0, quand x se balade entre moins l’infini et 0, jusqu’à x1.
Ensuite, elle est négative quand x se balade de 0 à 1.
Et quand x se balade de x2 jusqu’à plus l’infini, c’est-à-dire de 1 jusqu’à plus l’infini, et bien elle redevient positive.
Voilà et ici tu peux mettre des 0.

Et pour répondre enfin à notre question, on cherchait quand est-ce que f(x) est négative.
On cherchait le signe de f(x) et plus particulièrement quand est-ce qu’elle est strictement négative, et bien tout simplement quand x se balade entre 0 et 1 exclus.
Tout simplement !
Donc la solution finale, c’est S= l’intervalle -c’est généralement un intervalle que tu trouves lorsque tu résous une inéquation- et bien ]0;1[
Voilà les x pour lesquels f(x) est strictement négative. Tu vois c’est comme ça qu’on a réussi à résoudre notre question.

Donc j’espère que tu as bien compris cet exercice, ce n’est pas forcement évident.
Alors dans un problème de niveau terminale S, généralement je pense qu’on t’aurait donné quelques questions intermédiaires.
C’est vraiment une question typique du BAC. Tu pourrais avoir quelques questions intermédiaires mais c’est vraiment ce genre de question que tu pourrais rencontrer.
Et donc il faudrait savoir comment t’en sortir quand on te demande de résoudre une telle inéquation et bien il faut penser à étudier une telle inéquation par rapport à 0, c’est à dire le signe de quelque chose fonction de x.
Et cette méthode, je t’en parlais en tout début de vidéo, c’est vraiment une méthode qui revient très souvent dans des inéquations.
Quand tu cherches à résoudre une inéquation, pense toujours à avoir l’un des coté égal à 0.
Comme ceci, de l’autre coté tu as quelque chose fonction de x, duquel tu dois trouver le signe, en l’occurrence soit +, soit -, strictement ou pas strictement. Donc là c’était inferieur strict.

Et après il s’agit de faire une étude de signe d’une fonction.
Et pour étudier le signe d’une telle fonction, ce n’est pas évident au premier abord, donc il faut la dériver, il faut chercher ses variations et ensuite chercher son signe.
Et c’est exactement ce qu’on a fait ici.
Donc j’espère que tu as bien compris tout ça.
Si tu comprends tout ça c’est vraiment excellent et puis je te dis à la prochaine sur star-en-math tv pour de nouvelles aventures.