1ère vidéo : Raisonnement par récurrence dans la 1ère question
2ème vidéo : Démontrons que (Vn) est une suite arithmétique
Dans cet exercice de maths gratuit en vidéo, niveau Terminale S, nous allons démontrer qu’une suite est arithmétique.
Raisonnement par récurrence
On a deux suites (Un) et (Vn) et que (Un) est définie par récurrence. Fréquemment, quand tu as une suite définie par récurrence, et pas la définition explicite, tu vas devoir faire un raisonnement par récurrence.
Ici, la 1ère question n’est pas facile … Il s’agit de démontrer que la suite numérique (Un) est comprise entre 2 et 4, 2 exclus. Pour démontrer cette propriété POUR TOUT n supérieur ou égal à 1, il va s’agir de raisonner par récurrence.
Donc, le raisonnement par récurrence :
- Tu montres cela pour le rang 1.
- Puis, tu supposes la propriété mathématique vraie pour un rang n supérieur ou égal à 1, et tu la démontres pour le terme de rang n+1.
Pour ce 2ème temps, vu que U(n+1) = f (Un), il va s’agir de montrer que f ( x ) est compris entre 2 et 4, 2 exclus, pour x variant dans cet intervalle.
Etude de fonction
On est donc face à une véritable petite étude de fonction qu’il faut faire : on calcule la dérivée de f, on regarde le signe de sa dérivée, on en déduit les variations de la fonction mathématique f, on voit ici qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle ]2 ; 4].
Donc un minorant sur cet intervalle est 2, un majorant est 8/3 ! (c’est la borne inférieure). Donc c’est fini , ou presque 😉
Définition d’une suite numérique
Ceci nous permet juste de résoudre la 1ère question, à savoir que les suites (Un) et (Vn) sont définies sur N … Pour parvenir à démontrer cela, on reprend le résultat de la 1ère partie de la question, puis on raisonne sur les dénominateurs en présence : ils ne peuvent pas être égaux à 0 !
Et ça marche bien …
Suite arithmétique
La suite de cet exercice de Maths consiste à démontrer que (Vn) est une suite arithmétique. Je te rappelle qu’une suite arithmétique est une suite de nombres entre lesquels il y une « distance » constante, qui est la raison de cette suite arithmétique.
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de calculer la différence entre un terme et son précédent, pour tout n de l’ensemble de définition de la suite, ici l’ensemble des entiers naturels. Puis tu montres que cette différence est un nombre constant, qui NE DEPEND PAS de n ! 
Et ca termine ton exercice 😉 Ouf !!
Romain
5 Comments
lemazurier
25 mai 2012Je ne comprends pas pourquoi on peut conclure que Un est défini alors qu’on étudie Un+1 à la fin de la vidéo … En attendant votre réponse . Merci
Romain
26 mai 2012Salut, je ne saisis pas bien ta question 😮 !
Mathieu
18 novembre 2012Il est écrit dans mon cours :
« Si (Un) est défini de façon récurrente, les variations de f ne sont pas les mêmes que celles de (Un). »
Or dans la vidéo on a (Un) défini de façon récurrente, et on utilise les variations de f. Alors où se trouve mon erreur ?
Merci Romain.
Romain
18 novembre 2012Oui Mathieu, mais en aucun cas je ne parle des variations de (Un) dans cet exercice ! Car, en effet, ses variations nous importent peu, on ne cherche pas à les connaître.
Romain
Edwige
9 septembre 2013bonjour ,
je ne comprend pas un truc , sa n’a rien a voir avec cette video mais c’est quand meme sur les suites . je n’arrive pas a demontrer qu’une suite est arithmetique ou geometrique lorsque l' »on a uo=… et un+1=… je sais qu’il faut faire un+1-un = r mais je n’arrive jamais a trouver Un . stp peut tu m’aider
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