Terminale S Théorème des gendarmes

Comment utiliser le théorème des gendarmes dans le calcul d’une limite de fonction ?

Bonjour à toi et bienvenu sur star en maths TV. Ici Romain. Dans l’exercice d’aujourd’hui nous allons calculer une limite pas forcément facile qui est la suivante : la limite quand x tend vers -l’infini de ce quotient : (x-sinx)/(3x+sinx).
Donc déjà première chose, quand tu essaies de remplacer x par un nombre qui est très négatif, par exemple -10 000, pour essayer de te représenter un petit peu combien vaut cette limite et bien, on remplace x par -10000 ça fait :
« Calcul mathématique »
Et les valeurs sinus de -10 000 au-dessus et en-dessous, on ne sait pas du tout combien ça vaut. Donc, le sinus, on va dire qu’il nous embête un petit peu.

Alors généralement, vu qu’ici on calcule la limite quand x tend vers l’infini, en l’occurrence -l’infini, ce qu’il s’agit de faire quand tu calcules la limite d’un quotient, c’est d’essayer de mettre en facteur, haut et bas, par le terme qui varie le plus.
Et le terme qui varie le plus, ici en haut et en bas, et bien c’est x. Il varie le plus en amplitude quelque part puisque quand x tend vers -l’infini, c’est vraiment x qui varie le plus par rapport à sinus x. Car, rappelle-toi, un sinus, quelle que soit la valeur qu’il y a entre les parenthèses du sinus, c’est toujours compris entre -1 et 1.
Donc, le -sinx ici, il ne peut pas varier au-delà de -1 et 1. Et de la même façon pour sinx en-dessous.
Donc ce que je propose de faire, c’est vraiment de mettre en facteur, par le terme, comme je te disais, qui « varie le plus ». Ici on va mettre x en facteur haut et bas.

Donc c’est ce qu’on va faire et on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Donc vu que x varie dans les nombres très négatifs, il n’est pas égal à 0. Donc ce qu’on peut faire ici, c’est simplifier haut et bas par x. Tous simplement, ils s’enlèvent.
Et c’est ça l’intérêt de factoriser haut et bas par un terme qui est le même, en l’occurrence x. Comme ça, il se simplifie.
Tu vois donc tu as changé un peu ta limite. Et maintenant, tu dois calculer cette limite-là. Je la renote de façon un petit peu plus propre : limite quand x tend vers -l’infini de (1-sinx/x)/(3+sinx/x)

Alors, comme je te le disais au tout début, un sinus, ça varie de toute façon entre -1 et 1. Donc, si x tend vers -l’infini : regardons de plus près ce terme là : -sinx/x.
Tu te rends bien compte que ce terme-là va tendre vers 0 parce que sinx il est encadré entre -1 et 1 et le x lui, il va vers -10 000, -100 000, moins 100 milliards. Tu vois, tu peux vraiment remplacer mentalement x par un nombre très grand dans les nombres négatifs.
Et donc, ce terme-là, ce quotient, tend vers 0. Et de la même façon pour sinx/x en-dessous.
Donc à priori notre limite tendrait vers 1-0 au numérateur sur 3+0 au dénominateur. Donc 1/3.

Mais maintenant, il faut le prouver. C’est-à-dire qu’il faut démontrer mathématiquement que la limite de ce terme-là quand x tend vers -l’infini, c’est 0. Donc de fait, la limite de ce terme-là aussi sera 0.
Alors comment démontrer que ce terme-là a une limite qui vaut 0 quand x tend vers -l’infini ? Et bien comme je te le disais, sinus x c’est déjà compris entre -1 et 1, quelle que soit la valeur de x. C’est ça qui est un petit peu puissant pour les fonctions trigonométriques comme sinus et cosinus.
Donc j’ai cette inégalité quelle que soit ma valeur de x. Et ici, cette inégalité elle est valable pour tout x strictement inférieur à 0. Pourquoi je prends x strictement inférieur à 0? Et bien parce qu’on étudie cette limite quand x tend vers -l’infini donc ça ne sert à rien de considérer des x positifs.
Donc ici, je vais mettre pour x strictement inférieur à 0. Pourquoi je choisis « strictement » ? Parce que maintenant je vais diviser toute cette double inégalité par x. Une autre façon de le dire : on va multiplier tout ceci par 1/x.
Alors il faut faire attention, quand tu multiplies toute une inégalité par 1/x et que 1/x est un nombre négatif, parce que x est négatif, et bien il faut changer le sens des inégalités. En fait, ça ne va pas changer grand chose ici. Tu vas obtenir :
« Calcul mathématique »

Donc j’ai changé le sens des inégalités parce que notre 1/x est négatif. Donc de toute façon j’ai cet encadrement-là.
Et ce qu’on peut dire à partir de cet encadrement, c’est que d’après le théorème d’encadrement -il s’appelle comme ça et il s’appelle aussi le théorème des gendarmes- vu que la limite de -1/x quand x tend vers -l’infini, c’est égal à 0 ; et que la limite aussi de 1/x quand x tend vers -l’infini, c’est égal à 0 aussi, et bien d’après ce théorème, la limite de (sinx)/x, quand x tend vers -l’infini, vaut 0.
C’est d’après ce théorème et c’est vraiment quelque chose qu’il faut dire sur ta copie. Tu notes cet encadrement-là, en choisissant bien ton x. Donc tu choisis ton x au voisinage de -l’infini. Ici je l’ai simplement choisi strictement négatif car x doit tendre vers -l’infini au final.
Tu te rends bien compte qu’on avait conjecturé que la limite de ce terme-là était égale à 0. Donc comme tu avais pressenti qu’elle était égale à 0, maintenant, on le prouve. Et donc avec cet encadrement-là, en disant sur ta copie : « d’après le théorème d’encadrement » ou « d’après le théorème des gendarmes » (c’est le même) et bien tu as la limite de sinx/x est égale à 0.
Il faut avoir bien dit que les limite de -1/x et 1/x quand x tend vers -l’infini sont les mêmes et sont égales à 0.

Donc on a cette limite en rouge, là. Et donc, ce que tu peux dire, c’est que : première chose, la limite du numérateur, c’est-à-dire la limite de 1-sinx/x quand x tend vers -l’infini, est égale à 1.
Tu vois les limites c’est toujours un petit peu long à écrire, donc il vaut mieux prendre le temps d’écrire toutes ces limites. C’est comme ça que tu démontres à ton professeur que tu as bien compris. Et bien sûr il faut aussi dire que tu utilises le théorème, c’est très important.
ET donc une fois que tu as écrit toutes les limites, tu vas pouvoir conclure. Donc là, tu peux dire que c’est 1 parce que la limite de tout ceci, c’est 0. Tu vois, tu viens de l’écrire et ton professeur comprendra bien que tu as bien compris justement, que cette limite vaut 1.
Et maintenant, la limite du dénominateur, 3+sinx/x, quand x tend vers -l’infini, et bien c’est 3, exactement pour la même raison. C’est-à-dire que ce terme là tend vers 0.
Et donc, de ceci, tu conclus que la limite de (x-sinx)/(3x+sinx), quand x tend vers -l’infini, c’est 1/3. C’est un nombre fini et c’est 1/3. Donc là, tu encadres le résultat.

Et sur ta copie, tu dirais bien, au bon endroit, ici, que tu utilises le théorème des gendarmes.
Voilà, donc j’espère que tu as bien compris ce calcul de limite. On a utilisé plusieurs techniques ici. On a factorisé haut et bas par un terme qui variait beaucoup, en l’occurrence le terme x. Ce qui nous a permis de le supprimer.
Ensuite, il te restait ici des termes dont tu pressentais bien qu’ils tendaient vers 0 mais comment le démontrer vraiment ? Et bien pour le démontrer vraiment, il faut utiliser un encadrement de ce terme. Et c’est facile quand tu as une fraction trigonométrique comme celle-ci, donc sinus. Sinus est toujours compris entre -1 et 1 et donc l’encadrement que tu obtiens, c’est celui-là.
Et donc, avec cet encadrement, en démontrant que le terme à gauche et le terme à droite ont des limites qui sont les mêmes quand x tend vers -l’infini, en l’occurrence ces limites sont 0, et bien tu démontres bien, d’après le théorème des gendarmes, le théorème d’encadrement, que ce terme au milieu tend vers 0.
Et là, c’est fini. Tu vois tu conclus en notant tes dernières limites, exactement ce qu’elles valent, et tu conclus que la limite finale vaut 1/3.

Voilà, j’espère que tu as bien compris ce calcul de limite et je te dis à la prochaine, dans un nouvel exercice de star en math TV.