Comment mettre un nombre complexe sous sa forme exponentielle ?
Bonjour à toi et bienvenu dans ce nouveau cours star en math. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.
Dans cet exercice il va falloir donner la forme exponentielle de ce nombre ici en mauve : z+1/z, où on sait que le z, que j’ai noté ici en bleu clair, ça vaut ei pi sur 3
Donc on va déjà rappeler ce que c’est que la forme exponentielle d’un nombre complexe puisqu’ici il s’agit de la donner.
Il faut trouver cette fameuse forme exponentielle de ce nombre ici;
Donc la forme exponentielle d’un nombre complexe, c’est vraiment ça, c’est « formule mathématique ».
Donc on va quand même préciser ce que c’est que ce r. En fait r, ça correspond au module. Le module parfois on le voit noté « rho », cette lettre grecque là, peut-être que tu as ça dans ton cours.
Donc ça veut dire, c’est très important, que c’est un nombre positif, parce que tu sais que c’est le module, on va quand même le rappeler.
Ici tu vas trouver le module du nombre complexe en fait. On va appeler ce nombre complexe Z. Donc ça, c’est module de Z. Donc ce que tu as comme nombre juste devant le ei thêta.
Et c’est un nombre positif. Ça c’est important à dire parce que si tu vois un nombre complexe qui s’écrit sous cette forme « formule mathématique » et bien là tu es sûr que ce nombre complexe n’est pas mis sous sa forme exponentielle parce que tu as un nombre devant qui est négatif.
Donc de toute façon, un nombre négatif ça ne peut pas être le module. Donc là ça ne correspond pas à la forme exponentielle même si ça ressemble.
Donc dès que tu vois un nombre devant qui est négatif, et bien tu te dis : ça ce n’est pas la forme exponentielle de mon nombre complexe.
Et pour la trouver, et bien on va en parler dans un instant, pour la trouver en fait il faut que tu trouves le module et l’argument.
Donc là, il faut d’abord calculer le module et là, et bien justement le thêta, c’est ce que je disais à l’instant, c’est l’argument de ton nombre complexe.
C’est un argument, parce qu’en fait l’argument il est toujours défini à 2 pi près pour un nombre complexe. Donc ça, c’est l’argument de Z.
Donc ça veut dire qu’en fait la forme exponentielle d’un nombre complexe, il n’y en a pas une seule. Elle n’est pas définie de façon unique comme la forme algébrique.
Parce que la forme algébrique, tu sais c’est a+ib, et bien le a et le b, ils sont uniques, il n’y en a pas d’autres qui sont possibles.
Par contre, pour la forme exponentielle, le r qui est devant il est unique mais le thêta, et bien ça peut très bien être thêta plus 2 pi, ça ne changera pas grand chose en fait.
Donc ça, c’est argument de Z, et vu que tu peux choisir un thêta qui est à 2 pi près, tu peux choisir la mesure principale, la mesure principale plus 2 pi etc.
Et le nombre obtenu sera toujours une forme exponentielle de ton nombre complexe.
Donc voilà pour les rappels sur la forme exponentielle d’un nombre complexe.
Donc ça veut dire quoi finalement ? Ça veut dire qu’il faut trouver le module de ton nombre et l’argument de ton nombre complexe, ou un argument. On parle plutôt d’un argument d’un nombre complexe puisqu’ils sont tous définis à 2 pi près.
Et une fois que tu as le r et le thêta, ça y est tu peux écrire la forme exponentielle de ton nombre complexe.
C’est ça qu’il s’agit de faire quand tu cherches la forme exponentielle d’un nombre complexe.
Donc là quand on te parle de z+1/z, on va essayer d’écrire un petit peu ce que c’est puisqu’on sait ce que c’est que le z.
Donc on va exprimer ce que c’est et à la fin on va essayer de le transformer pour avoir r fois ei thêta et peut-être qu’on va passer par son module et le calcul de son argument.
Donc là on va voir ce que ça va donner dans un premier temps. Ça va donner :
« Calcul mathématique »
Alors il y a quelque chose d’important, c’est que dès que tu vois ei quelque chose, c’est ce qu’on appelle l’exponentielle complexe, eix ou ei thêta, ça vaut vraiment :
« Formule mathématique »
Et l’exponentielle complexe, ça se comporte exactement de la même façon que l’exponentielle avec des x ou même qu’un nombre à la puissance i thêta.
Donc ça veut dire que tu peux très bien utiliser les règles sur les puissances que tu connais et le transformer.
On va rappeler un petit peu les règles sur les puissances :
« Formule mathématique »
Donc là on peut très bien utiliser cette règle-là, on peut transformer :
« Calcul mathématique »
Donc tu vois on a transformé un petit peu notre nombre, pour l’instant on se demande un petit peu ce qu’il donne.
On a juste remplacé le z par ce qu’il vaut et on essaie de transformer un petit peu notre nombre, pour à la fin obtenir notre forme exponentielle.
Là on peut reconnaitre, peut-être que tu connais la formule d’Euler, en tout cas ça se simplifie.
Et en fait, sans même parler de formule d’Euler ou quoi que ce soit, on va juste utiliser la définition de l’exponentielle complexe qu’on a indiquée ici et donc on a :
« Calcul mathématique »
Ça c’est vraiment ce fameux ei pi sur 3. Et de la même façon tu peux exprimer le e -i pi sur 3. On utilise la formule en remplaçant thêta par -pi sur 3 ça va donner :
« Calcul mathématique »
Donc là on a vraiment transformé notre nombre complexe.
Alors là, c’est peut-être pas judicieux ce qu’on est en train de faire parce qu’on est peut-être en train de s’éloigner de notre forme exponentielle.
Là on est passé plutôt sur la forme trigonométrique. Mais bon, ce n’est pas forcément très grave, là on essaie vraiment de simplifier notre nombre z+1/z.
Parce que là, peut-être que ça va se simplifier. On va voir un petit peu ce que ça donne.
Il faut toujours essayer de tâtonner en mathématique; Il ne faut pas hésiter à essayer des pistes.
Il faut toujours garder en tête ce qu’on cherche à faire. N’oublions pas ici on cherche la forme exponentielle de ce nombre là.
Mais il n’y a pas de problème, tu peux chercher à simplifier les choses et prendre un petit peu de temps pour tâtonner un petit peu et pour avancer, écrire des choses vraies. Il ne faut pas hésiter à faire ça.
Donc pour l’instant ce qu’on a écrit, c’est vrai. On est content, on a fait des petits pas.
Et donc on continue parce qu’on sait que cos de -pi sur 3, il faut vraiment se rappeler que cosinus, c’est une fonction qui est paire.
Ça veut dire que cosinus de -x, je l’écris ici. Tous ce que je mets en noir c’est du cours. Cosinus de -x, pour n’importe quel x, c’est toujours égal à cosinus x.
Donc ça veut dire que cos de -pi sur 3 c’est égal à cos de pi sur 3.
Et par contre, sinus c’est une fonction qui est impaire sur R. ça veut dire que sin -x, c’est égal à -sin x.
Donc tu peux sortir le -. Il ne faut pas le faire sans connaitre ces règles qui sous-tendent sinus et cosinus. Tu vois là on aurait tendance pour le cosinus à vouloir sortir le -.
Non en fait il faut vraiment utiliser les règles que tu connais. toujours. On n’utilise pas en mathématiques des règles, comme ça, qui nous paraissent être du bon sens. Ça ne marche pas du tout en maths.
IL faut vraiment utiliser toujours des règles mathématiques, des règles du cours pour transformer quelque chose, pour avancer.
Donc là, on obtient finalement :
« Calcul mathématique »
Donc finalement on obtient 2cos de pi sur 3. cos pi/3, c’est une valeur que tu peux connaitre, et que je t’encourage vraiment à connaitre.
Tu sais il y a un petit tableau avec les angles et les valeurs de leurs cosinus et sinus. Et bien cos de pi/3 :
Tu peux toujours placer l’angle sur le cercle trigonométrique parce que quand tu le places, ça te donne une bonne idée de sa valeur.
Tu vois, pi/3, tu pars de cette barre là, pi/3 tu arrives là en fait. Et le cos de ça, tu vois tu descends et on arrive au milieu ici, donc on arrive à 1/2.
Donc tu obtiens 2*1/2 puisque cos pi/3 c’est 1/2. Donc tu obtiens finalement 1.
Voilà donc finalement la forme exponentielle parce qu’on n’a pas vraiment besoin d’avoir un ei quelque chose.
Parce que dès que tu as un nombre réel positif, c’est directement sa forme exponentielle. Après tu peux très bien rajouter un ei0 par exemple.
Le thêta, c’est 0. Et tu pourrais très bien rajouter un ei2pi parce que tu te souviens le thêta est toujours défini à 2 pi près.
Parce que ei2pi, si on utilise l’exponentielle complexe, c’est cos 2pi, c’est à dire 1. Plus i sin2pi, et bien c’est 0. Donc ça fait bien 1. Si tu veux, ei0 ou ei2pi, c’est un.
Tu vois ça nous faire voir plein de choses ce petit calcul. IL est tout simple cet exercice mais il nous fait voir plein de formules de cours donc il est plutôt intéressant.
Donc voilà la forme exponentielle de ton nombre complexe. Mais tu peux garder le 1 ça marche aussi.
Donc voilà comment on a trouvé notre forme exponentielle. On n’est pas vraiment passés par la méthode classique si tu veux.
La méthode classique qui est celle-ci : pour trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe, généralement, on trouve le r et on trouve le thêta.
Tu te souviens comment on trouve le r ? Il faut utiliser la formule :
« Formule mathématique »
Sachant que le a c’est la partie réelle et le b la partie imaginaire de ton nombre complexe.
Donc en fait il faut mettre ton nombre complexe sous sa forme algébrique pour avoir le a et le b et ensuite trouver le r.
Et pour le thêta, tu te souviens, on fait cos de thêta, c’est a/r et sinus de thêta, c’est b/r. Et à partir du cos et du sinus, on trouve le thêta.
C’est toujours comme ça généralement qu’il faut faire, c’est une méthode qui marche tout le temps mais ça suppose de mettre dans un premier temps ton nombre complexe sous sa forme algébrique.
Bon ce n’est pas toujours nécessaire de faire comme ça parce qu’il y a des formes de ton nombre complexe au départ qui te permettent d’obtenir directement la forme exponentielle.
Parce que le nombre complexe qu’on te donne au départ il déjà presque constitué de ei quelque chose avec des nombres positifs devant etc.
Donc là ce qu’on a utilisé c’est juste une transformation de notre nombre. On a essayé de voir ce qu’il donnait.
Et en fait, il se trouve que, même sans vraiment penser à la forme exponentielle, il se trouve que nombre complexe se simplifie beaucoup puisqu’il donne 1.
Et la forme exponentielle de 1, c’est 1 en fait. Tu peux rajouter artificiellement le ei0 ou ei2pi mais ça ne change pas grand chose.
Voilà. J’espère que je ne t’ai pas trop embrouillé. Je voulais juste te rappeler que pour trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe il faut trouver le r et le thêta.
Tu sais comment faire pour trouver le r et le thêta. IL faut d’abord passer par la forme algébrique et après utiliser les formules pour calculer r et thêta.
Et, rarement, dans quelques cas, le nombre se simplifie de telle façon à directement te donner sa forme exponentielle.
Il est généreux si tu veux le nombre. Ici c’était un petit peu le cas de notre nombre z+1/z.
Et n’oublie pas aussi la formule de l’exponentielle complexe. C’est une définition : ei thêta, c’est cos thêta + isin thêta
Et n’oublie pas les règles sur les puissances puisqu’une exponentielle complexe, ça obéit aux mêmes règles que les puissances, que tu connais déjà, et que tu peux appliquer pour la fonction exponentielle ou un nombre, par exemple 2 puissance 5 plus 2 etc.
Dès que tu as une puissance il faut que tu connaisses les règles sur les puissances.
Je te dis à la prochaine, dans une autre vidéo.
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