Tétraèdre

En trois dimensions, comment construire un point à partir d’une relation vectorielle et d’un tétraèdre ?

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Alors, aujourd’hui, dans l’exercice nous avons un tétraèdre ABCD, et il s’agit de construire le point M tel que le vecteur AM égale à la somme des deux autres vecteurs AB et AC.

Premier à rappel : que ce que c’est qu’un tétraèdre ? alors, tétra, ça vient du grec et cela veut dire quatre, et « èdre » signifie face. Un tétraèdre fait partie de la famille des polyèdres. Un polyèdre, qu’est-ce que c’est, c’est une forme géométrique en trois dimensions, dans l’espace donc, qui est formé de facettes planes qui se rencontrent le long d’arêtes droites. Donc, ça, c’était un petit rappel. Le tétraèdre fait partie aussi de la famille des pyramides. C’était pour ta culture mathématique.

Maintenant, comment construire notre point M ? déjà, on va dessiner un tétraèdre quelconque. C’est parti !

Un tétraèdre est composé de quatre triangles, je place les quatre sommets A,B, C et D. Nous, nous devons construire le point M qui satisfait la relation vectorielle donnée dans l’énoncé de l’exercice.

Alors, ce que je te recommande de faire, puisque le vecteur AM ne dépend que de 3 points qui sont A,B et C (ils forment dans l’espace un plan ; en effet, trois points dans l’espace forment toujours en plan ; dans le plan, deux points forment toujours une droite) : ce que l’on va faire, c’est redessiner le triangle ABC très rapidement dans le plan, juste à côté.

Nous obtenons donc le triangle ABC, l’une des facettes de notre tétraèdre ABCD, dans le plan 2D, sur la feuille.

Comment tu ferais pour construire le point M sur ce triangle ABC à partir de la relation vectorielle donnée ? En fait cette relation vectorielle définit un parallélogramme, et plus précisément le quatrième sommet de ce parallélogramme.

Par construction, le quadrilatère obtenu est en effet un parallélogramme. Donc, tu sais que la diagonale AM et la diagonale BC se coupe en un point I, qui le milieu du parallélogramme. I y est aussi le milieu du segment [AM] et du segment [BC].

À partir de la relation vectorielle obtenue avec cette figure en deux dimensions, tu peux revenir à ta figure en trois dimensions. Nous allons pouvoir placer le point M.

Il n’est plus défini par une somme de deux vecteurs, il est juste défini par le double du vecteur AI . Et ceci, c’est beaucoup plus simple à construire que la somme de deux vecteurs. Après avoir placé le point I, il suffit de partir du point A, d’aller vers le point I, et de prolonger le segment entamé de la même longueur AI. Tu obtiens plusieurs égalités de longueurs.

Donc voilà comment construire notre point M à partir de la relation vectorielle donnée dans l’exercice, qui est en fait une relation typique d’un parallélogramme.

Comme bien souvent en géométrie dans l’espace, je te recommande de dessiner une figure 3D, et si tu te rends compte que tu peux faire certaines figures en deux dimensions, n’hésite pas à faire une seconde figure dans un plan en deux dimensions (en fait, la feuille). Tu mets en exergue un triangle particulier ou une relation vectorielle particulière. Et, tu vas voir que les choses sont beaucoup plus simples quand tu raisonnes en 2D qu’en 3D. En 3D, parfois, tu as besoin de voir les choses, de les sentir, mais, quand tu sais que tu raisonnes dans un plan, ou par rapport à trois points (ici, c’était le cas, nous raisonnions avec A,B et C, dans l’espace, ça donne un plan, donc tout de suite, tu peux faire une figure dans le plan ABC), refais une figure en deux dimensions, et tu verras que c’est beaucoup plus simple de raisonner.

C’est ce qu’on a fait ici !