Trouver l’ensemble de définition d’une fonction

Donc quelle est ta méthode en général pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction ?

Je me trompe souvent pour trouver celui des racines carrées.

D’accord.

Il y a juste en 1ere S deux règles à retenir, c’est qu’on ne peut pas diviser par zéro, donc ça, je suppose que tu es d’accord.

• La division par zéro c’est une opération qui est interdite.
• Et la deuxième opération interdite, c’est justement sur les racines carrées comme tu as dit. Tu peux prendre la racine carrée d’un nombre, mais pas n’importe quel nombre.

Positif.

Voilà, exactement. √A, avec A≥0. Mais en fait ce que ça te donne comme condition sur les valeurs interdites, c’est que A ne peut pas être strictement négatif. Donc c’est comme ça que tu trouves un ensemble de définition. Imaginons très rapidement que tu aies un √(x-2), et bien quel est le domaine de définition de cette fonction g(x).

Ce sera forcément sur R⁺.

Et bien pas forcément, non. En fait, il faut juste appliquer l’une ou l’autre de ces deux règles. Soit, tu ne peux pas diviser par zéro, en fait ce n’est pas l’une ou l’autre, c’est les deux pardon, les deux en même temps. Donc là, comme il n’y a pas de division, on ne va pas utiliser la première règle. Vu qu’il y a une racine carrée, on utilise la deuxième. Cette deuxième règle te dit « tu ne peux pas avoir la racine carrée d’un nombre strictement négatif ».

Du coup, qu’est-ce que ça implique comme condition sur notre fonction g(x) ou sur ce qu’il y a dans la racine si tu veux.  En gros, ce qui est sous la racine ici, ne peut jamais être strictement négatif. Tu vois c’est ça la condition que ça te donne. Donc, qu’est-ce que ça te donne au niveau mathématique ?

Et bien x-2≥0

Exactement, c’est avec ça que tu vas pouvoir le trouver. Donc, c’est juste ça, grâce à ça et uniquement ça en fait. Il faut juste, quand tu cherches un ensemble de définition d’une manière générale, il faut juste essayer d savoir, quand est-ce que ta fonction est calculable.

Et quand est-ce qu’elle est calculable cette racine carrée ?

C’est juste le x-2 comme tu me le dis est supérieur ou égal à zéro. Donc qu’est-ce que ça te livre comme ensemble de définition ? A quoi c’est équivalent sur les x ça ? En fait, ça revient à résoudre cette inéquation.

x≥2

Voilà. Et du coup, l’ensemble de définition Ɛd

C’est sur l’intervalle 0 à 2

Et bien non.

L’intervalle 2 à + ∞

Voilà.

Ɛd = [2, + ∞[ , 2 inclus dans l’ensemble de définition.

Dans le domaine de définition, il n’y a que ça à connaître <Calcul mathématique>. Et c’est tout, tu as juste ça à retenir.

Et ensuite, attaquons-nous à ta petite fonction. D’ailleurs, est-ce que tu ne connaîtrais pas une astuce pour simplifier un peu ta fonction ? Est-il possible de la changer un peu, de la modifier ?

Oui, on peut peut-être factoriser ?

Oui, par quoi, comment ? Factoriser le numérateur ? Le dénominateur ?

Le dénominateur. Et bien non, on ne peut pas.

Pas vraiment. Par contre, il y a une petite technique que tu peux toujours utiliser sur ce genre de fonction pour essayer de la modifier et ça peut toujours te servir par la suite. C’est que, regarde <Calcul mathématiques> et tu as x au dessus. Et là tu peux écrire : <Calcul mathématiques>, et bien ça sert  à faire apparaître, regarde bien <Calcul mathématiques>. Donc finalement ta fonction f, elle se simplifie en <Calcul mathématiques>. Bon, voilà, tu vas me dire : ok, ça sert à quoi, etc. mais en fait ça peut servir pour la suite. C’est une petite simplification, une petite astuce que tu peux retenir. Tu vois, on a tout simplement, en gros, simplifié cette fraction en <Calcul mathématiques>. Bon, bref, je ne vais pas plus loin, mais j’espère que tu as compris cette petite manipulation. Ça consiste juste à faire apparaître au numérateur, le dénominateur et faire apparaître un 1.

Donc, ensuite, tu m’as dit que cette fonction f elle est définie sur quoi. Souviens-toi de ce qu’il y a dans le rectangle rouge, de ce que j’ai encadré.

Ce n’est pas divisible par zéro.

Oui. Enfin, en mathématiques, on ne peut pas diviser par zéro. Et là, est-ce que dans la fonction, il y a une division ?

Oui.

Donc, du coup, qu’est-ce qu’on ne peut pas faire ?

Et bien, on ne peut pas diviser par zéro, on ne peut pas remplacer… non je ne vois pas.

Oui, tu n’étais pas loin ! En fait, on ne peut pas remplacer x par 1 tout simplement. Tu vois, donc l’ensemble de définition, ce n’est pas R. Il faut que tu partes de la condition suivante, tu utilises cette règle là, vu qu’il n’y a pas de racine carrée. Donc, la règle te dis, on ne peut pas diviser par zéro, donc, le dénominateur ici, qui est x-1 soit égal à zéro, donc il faut qu’il soit différent de zéro. Tu me suis Guillaume ?

Oui.

Et donc, qu’est-ce que ça implique sur x. Si tu veux, tu peux résoudre plutôt l’équation x-1=0 et ça ça va te livrer les valeurs interdites. Donc 1 c’est quoi du coup ?

La valeur interdite

Oui, c’est ça. Donc, la valeur interdite, tu mettrais que c’est 1.

Du coup, l’ensemble de définition c’est quoi ?

Et bien, c’est tout, excepté 1.

Qui s’écrit aussi comment comme ensemble de définition ? Donc, ensemble de définition, je le note comme ça.

C’est R* non ?

Ah non, alors R* c’est tous les nombres, sauf zéro. Alors que là ce n’est pas R*, c’est tous les nombres sauf 1. Du coup, ce n’est pas.

On fait un intervalle avec une union ?

Oui, vas-y alors, je t’écoute.

<Calcul mathématique>

C’est ça l’ensemble de définition, sachant qu’il se note aussi R, l’ensemble des réels auquel tu soustrais, l’ensemble constitué de l’unique nombre 1. Ça se note aussi comme ça <Calcul mathématiques> en fait. Bon, c’est plus rapide d’écrire comme ça, mais les deux sont valables. C’est la même chose. D’accord Guillaume, tu me suis ? Donc, vraiment retiens bien cette chose pour déterminer en ensemble de définition, première chose, et bien on ne peut pas diviser par zéro, ça veut dire que ton dénominateur ne peut pas être égal à zéro. Et deuxième chose, si tu as une racine carrée, ce qui est en dessous, ne peut pas être strictement négatif. Voilà, après tu résous les inéquations et équations qui en résultent et tu vas trouver directement ton ensemble de définition.