Trouver une fonction affine, le coefficient directeur et un antécédent étant connus

Déterminer la fonction affine f(x)= ax+b tels que :

— a=5

— l’antécédent de 0 par f est -1

Et donc du coup qu’est-ce que ça veut dire déterminer une fonction affine pour toi ? Concrètement, quel va être ton objectif dans cet exercice ?

C’est de trouver combien vaut f(x)

Alors oui, et la forme générale d’une fonction affine, tu te souviens, c’est quoi ? C’est f(x) = de quel genre ? Qu’est-ce qu’on met après ?

 f(x) = ax+b

Voilà, donc concrètement, tu vas trouver quoi et quoi ?

a et b

voilà !

a, on l’a déjà trouvé

a, on l’a déjà, donc c’est encore plus simple, il suffit juste de trouver le b. Donc en gros ta fonction affine, plus précisément ça va être quoi, si on a déjà trouvé le a ?

Tu peux remplacer a par quoi tout simplement ?

Par 5.

Par cinq, voilà ! f(x) = 5x+b, et b c’est ton inconnue. Alors, maintenant, la question finalement c’est :

 Comment on va trouver b ?

C’est ça l’objectif. Comment va trouver b, sachant qu’on a déjà utilisé cette information que je vais cliquer a=5, ça, on l’a déjà utilisé, donc quelle information on n’a pas encore utilisée.

On n’a pas encore utilisé f(-1)=0

Alors, ça c’est très bien, antécédent de zéro, tu connais en fait les notions d’antécédents. < Calcul mathématique>

Oui.

Ah, et bien c’est bien. En fait, j’allais m’apprêter à de la rappeler, depuis le début, mais c’est très bien si tu connais ça. Alors la notion d’antécédent, pour tout le monde, un antécédent « anté-», c’est pour ça que ça sert de connaître quelques préfixes, vous vous souvenez que dans équation il y a le préfixe « équa » qui veut dire égal et, dans « anté », il y a le préfixe « anté ». Qu’est-ce que ça veut dire« anté » ?

Avant.

Avant. Exactement, tout à fait ! C’est bien, donc « anté » veut dire avant, donc ce qu’il y a avant de zéro, je vous rappelle qu’une fonction, c’est quelque chose qui transforme un nombre en un autre nombre. Donc là, on a un nombre au début, c’est le x, et là, le nombre à la fin c’est le f(x), au total < calcul mathématique> et donc, pour l’antécédent de 0,0 il est à la fin. Donc, nous on cherche le nombre avant de zéro, et le nombre avant le zéro, on nous dit que c’est -1. Et c’est pour ça que Florent a eu la très bonne idée de remplacer le x par -1, c’est-à-dire par le nombre avant, et le nombre qu’on obtient à la fin c’est zéro. Le nombre après en fait, ça c’est le nombre après. Voilà. Et est-ce que tu sais que, tu connais l’autre notion, qu’on lit, ou qui est souvent associé avec l’antécédent d’un nombre par une fonction ? Comment s’appelle ce qu’il y a après, ça a un nom.

L’image.

C’est très bien ! Oui, c’est ça, c’est l’image. Et l’image de quoi par quoi ? Souvent, on précise bien. Ici, c’est quoi l’image, là-dedans.

L’image c’est zéro.

C’est zéro. Et c’est l’image de quoi par quoi ?

Zéro, c’est l’image de -1 par f.

C’est très bien. Bon, eh bien voilà tu as compris. C’est parfait ! Ce sont deux notions très importantes, ces notions d’image et d’antécédent, qui sont complètement liés aux fonctions en fait. On a un nombre avant, on le transforme en un nombre après. Il faut tout simplement se dire qu’une fonction c’est une espèce de transformateur. Un truc qui transforme un nombre avant, pendant nombre après. Voilà. Donc, ça c’est bien. On va utiliser exactement cette information f(-1)=0.

Alors, du coup, f(-1)=0, qu’est-ce que ça veut dire ? Continuons à traduire petit à petit ce que ça veut dire.

Souviens-toi de la forme de la forme qu’on a actuellement. Alors, qu’est-ce que ça veut dire f(-1)=0 ici.

f(-1)=0

C’est très bien, pourtant tu as fait le gros du travail en fait, à traduire l’énoncé en quelque chose de mathématique, c’est-à-dire ça < calcul mathématique>, et qu’est-ce que c’est le f(-1)=0 ? Qu’est-ce qu’il va falloir remplacer ici, enfin, comment tu vas pouvoir obtenir, traduire ça. En utilisant ça.

< Calcul mathématique>

Voilà ! Exactement ! C’est très bien. Tout simplement ce qu’on a fait : c’est qu’on a remplacé partout x par (-1).

On remplace x par -1

Non seulement on a fait ça, mais surtout on a dit aussi que ça valait zéro. D’accord ? Parce que f(-1)=0. Et donc, là, comment on continue ?

On fait 0=-5+b

Voilà.

Donc b=5

Et là, est-ce que ton exercice est fini, ou pas ?

On a trouvé a, et on a b

Donc là, en fait on a terminé, tout simplement ! Du coup, on donne quand même l’expression finale de f, ton f, il vous convient ? Ton f(x) ?

f(x)= 5x+5.

Très bien, est-ce qu’on peut écrire autrement ? En fait, 5 c’est l’ordonnée à l’origine. Tu d’accord ? Et le 5 ici, c’est la pente, enfin, c’est le coefficient directeur. Voilà !

Est-ce qu’on peut faire quelque chose pour transformer un petit peu ça ? Par exemple les mettre sous forme de produits de facteurs. Ça ne sert pas forcément à grand-chose ici, mais tu peux faire quelque chose, mais tu peux factoriser en fait, par quel nombre ? En fait qu’est-ce que tu as en commun, tu es d’accord que f(x) c’est une somme de deux nombres.

Oui.

Et entre ces deux nombres, quel est le facteur commun, quel est l’élément commun entre ces deux nombres ?

C’est cinq.

Oui. Donc, je mets cinq, je mets « fois », j’ouvre la parenthèse, et je vais fermer la parenthèse. Qu’est-ce qu’on met entre les parenthèses.

X+1

Voilà, voilà comment on factorise, ça c’est une factorisation toute simple : la factorisation de base. On trouve un élément commun dans chaque terme. D’accord ? Donc, voilà ça c’est très très bien. On a résolu ton exercice f(x)= 5x+5.