Un calcul de moyenne pas comme les autres

Quand tu veux calculer ta moyenne rapidement, comment fais-tu ?
Bonjour à toi et bienvenu dans cette nouvelle vidéo Star en maths. Ici Romain, j’espère que tu vas bien.

Alors aujourd’hui on a un exercice qui est le suivant : on a Louis qui calcule sa moyenne en maths, un petit peu bizarrement.
C’est-à-dire que les notes sont sur 20 et il enlève 10 à chaque note, en première étape, ensuite il fait la moyenne des résultats, qu’il a obtenus et à la fin, il rajoute 10.
Et comme ça il obtient sa moyenne. Est-ce que tu penses que sont calcule est juste ? C’est ça la question de l’exercice.
Donc en fait ses notes sont les suivantes : 14 12, 8, 13 et 18. Voilà des notes assez irrégulière mais bon, peu importe.

Donc là, le but, c’est de calculer sa moyenne. Tu connais je pense la formule pour calculer une moyenne et c’est normalement toujours comme ça qu’il faut procéder.
La formule je vais te la rappeler, la première formule qu’on voit dès la seconde, c’est celle-ci :
On a m, m c’est la moyenne, parfois on note aussi ça X barre, si les différentes valeurs qui sont dans ta série statistique, on appelle ça, sont notés xi. Et bien ça c’est égal à la somme des xi, le tout sur N.
Autrement dit, si je note ça comme étant x0, première valeur de ta série, ça, deuxième valeur, x2, x3 et x4. Alors combien vaut le N ? Tu sais, le N c’est le nombre total de valeurs.
C’est tout simple ici, il y en a 5. Le N vaut 5. On n’a qu’à le mettre juste à côté.
Et bien là, tout simplement, ce que veut dire cette formule, c’est que tu fais la somme des différents xi, donc 14+12+8+13+18 et tu divises par N qui vaut dans notre cas 5.

Donc tu comprends bien la signification de cette formule. Ce symbole que l’on appelle Sigma en mathématiques, il veut dire la somme tout simplement.
Donc là, je vais mettre « somme des ». C’est aussi simple que ça. C’est juste un symbole pour dire ça : somme des xi
Donc ça c’est la formule générale, formule de cours que j’ai notée en noir, et quand on l’applique à notre exercice, c’est normalement comme ça qu’il faut toujours calculer sa moyenne, ce n’est pas comme Louis, et bien ça, ça donne :
« Calcul mathématique »
On va faire ce petit calcul, à la main, sans calculatrice. N’utilise pas toujours ta calculatrice pour faire des petits calculs aussi simples. Je pense qu’on va quand même réussir à s’en sortir. Ça permet aussi d’entrainer ton esprit à avoir une meilleure compréhension des nombres de faire des petits calculs comme ça.
Si tu utilises tout le temps ta calculatrice, tu as le droit, mais je te recommande quand même de temps en temps de faire des petits calculs de tête. Donc là ça fait :
« Calcul mathématique »
Ça fait tout simplement une moyenne de 13. Voilà comment on a fait rapidement notre calcul de moyenne.

Ça c’est le calcul normal, classique, d’une moyenne. C’est normalement comme ça qu’il faut calculer une moyenne, à partir de cette formule noire qu’on a appliqué ici.
Maintenant, ce qu’on va faire, c’est qu’on va se demander si la façon dont procède Louis est juste. Comment il fait Louis ? Il enlève 10 à chaque note. Il va obtenir une deuxième série que je vais noter en rose.
Donc à chaque note il enlève 10. À 14 si tu enlèves 10 ça va donner 4, 12, ça va donner 2, à 8 si tu enlèves 10 ça donne un nombre négatif qui est -2, 13, 3 et 18, 8.
Il fait la moyenne de tout ça. Il fait rapidement la moyenne ça veut dire qu’il somme tout ça et il divise par 5 parce qu’il y a 5 notes. Donc quand il fait la moyenne ça va donner combien ? Imaginons qu’on note cette série y, donc y0, y1, y2, y3, y4.
Donc quand il fait la moyenne de tous ces yi, il fait la somme de tous ces yi et il divise par N donc par 5 ici. Ça va donner tout simplement :
« Calcul mathématique »
Et donc il arrive sur 3 et à la fin, tu as vu ce qu’il fait, il rajoute 10. Donc en fait, sa moyenne, ça va être tout simplement 10+3, il retombe bien sur 13. Tu vois donc que son calcul, on se demandait s’il était juste ou pas, et bien il a l’air juste.

Alors le problème, c’est que ça marche sur la série de notes qu’il a eu ici, au premier trimestre, mais est-ce que ça marcherait tout le temps cette façon de faire ?
Donc là, c’est ce que je te propose de démontrer en fait. Même si ça marche sur un cas particulier, ça ne veut pas dire que cette façon de faire, de calculer une moyenne est juste tout le temps.
Donc ce qu’il faut faire absolument pour démontrer que c’est juste tout le temps, si tu veux le faire, et bien c’est une démonstration mathématique. Donc c’est ce qu’on va faire ici;
C’est pour ça que j’ai d’ailleurs petit à petit inventé des notations : les notes à la base on les note xi et ensuite, on va appeler les nouvelles valeurs, les valeurs roses ici, les yi.

Et nous on va faire une petite démonstration en noir en dessous pour savoir si avec sa façon de faire, on retombe toujours sur ce calcul-là.
Donc regarde bien ce qu’il fait à chaque note. Là il prend les xi de façon générale, maintenant on raisonne de façon générale, et il enlève à chaque fois 10.
Donc ce qu’il fait, c’est ça : il prend un xi, et il fait -10. IL note ça les yi. Ensuite qu’est-ce qu’il fait ? Deuxième étape ici, il fait la moyenne des résultats obtenus, c’est-à-dire la moyenne des yi. La moyenne des yi c’est la formule suivante :
« Calcul mathématique »
Le nombre de y c’est le même que le nombre de x donc c’est grand N général. Il n’y a pas un nombre de y et un nombre de x précis, c’est le même nombre. Dans notre cas c’était 5. 5 notes et 5 fois où on a enlevé 10.

Voilà donc ça, c’est vraiment le calcul qu’il fait à cette deuxième étape. Et à la toute fin, il ajoute 10. Il fait y barre + 10.
Nous, notre question, c’est quoi ? Et bien c’est de savoir si oui ou non ceci est égal à x barre, c’est-à-dire la moyenne des notes telle qu’on la calcule de façon classique. Est-ce que c’est égal ? Donc on va poser un point d’interrogation
Nous, on veut savoir si ça, c’est égal à x barre. Donc nous, ce qu’on va faire, c’est qu’on va reprendre un petit peu ça, je vais l’encadrer en noir et on va le calculer de façon théorique.
Donc y barre, revenons un petit peu à ce que ça vaut : c’est juste ça y barre, la somme des y sur N. Et qu’est-ce que c’est que la somme des yi ? Les yi, c’est xi -10.
Donc en fait, ceci, y barre plus 10, on veut savoir à la fin, si c’est égal ou non à x barre. En fait on veut démontrer que c’est égal à x barre, c’est-à-dire à la moyenne des notes.

Donc y barre + 10, tu calcules ça :
« Calcul mathématique »
Tu vois qu’on n’a plus de yi là-dedans, c’est plutôt pas mal parce qu’à la fin on ne veut plus de y, on veut démontrer que c’est égal à x barre qui vaut ça.
Donc il faut bien te dire que ce Sigma c’est « somme des » donc « somme des » (xi-10). Donc là, il y en a N. donc tu peux le noter comme ceci :
« Calcul mathématique »

Donc on va regarder notre numérateur, à ton avis, il y a combien de fois -10? Parce qu’à chaque xi on enlève 10. Donc il y en a N de xi donc on enlève N fois 10.
Donc au-dessus, on peut simplifier en fait les -10, -10,-10…. Quand tu les regroupes, il y en a N donc ça fait -10 fois N, -10N. Donc on va obtenir :
« Calcul mathématique »
Tu vois en fait on a enlevé le -10N du sigma. Le sigma, il s’occupe juste des xi.
Tu vois comme on a simplifié ce que j’ai noté au-dessus, là, en ceci. Et il ne faut pas oublier bien sûr le +10 derrière.

Et tu as une fraction. Qu’est-ce que tu peux faire avec une fraction par exemple quand tu as a-b sur c ? Et bien (a-b)/c je vais le notre là, je pense que tu seras d’accord que ça fait a/c – b/c.
Donc là en fait on peut séparer notre fraction en 2, c’est ça que je suis en train de te dire :
« Calcul mathématique »
Et 10N/N c’est quoi ? Et bien les N s’en vont. Et donc on obtient somme des xi sur N, ça c’est quoi ? Et bien c’est la moyenne des xi, x barre.
Donc on obtient x barre + 10 – 10 et donc les 10 s’en vont. x barre plus 0 ça fait x barre.

Ça y est, on a bien démontré que tout ceci, c’est-à-dire la façon de faire de Louis qui correspond à calculer la moyenne des y et à la fin à rajouter 10, et bien ça correspond bien au calcul de la moyenne en général, le calcul classique si tu veux.
Voilà comment on a démontré ceci, donc c’était très théorique. Je voulais vraiment te montrer comment on peut faire des démonstrations un peu théoriques en utilisant presque que des lettres en mathématiques.
Donc si tu es en seconde c’est peut être un petit peu difficile mais je pense que tu as quand même compris le début. Mais si tu es en première, je pense que tu peux comprendre cette démonstration, c’est quand même assez simple.
Donc voilà comment on a fait, on a adopté des notations, pour bien clarifier les choses. Les notes de base c’était les xi, les différences par rapport à 10, c’était les valeurs roses, les yi, la nouvelle série si tu veux.
Et on a bien démontré qu’une moyenne tu peux tout à fait la calculer comme ça même si ce n’est pas très classique comme calcul. IL faut bien avoir des notes sur 20. Tu peux enlever 10, ces résultats, les résultats roses, tu en fais la moyenne, tu les sommes et tu les divises par le nombre de note. Et à la fin tu rajoutes 10.
Tu vois, c’est assez commode en fait de calculer une moyenne comme ça. Si tu as eu 14 et 12 par exemple, et bien ça fait 4+2, donc 6, divisé par 2, ça fait 3 et à la fin tu rajoutes 10 : ça fait 13 de moyenne. C’est logique non ?

Donc voilà comment tu peux calculer une moyenne.
Et donc Louis, il n’y a pas de souci, il calcule bien sa moyenne en faisant comme ça. C’est ce qu’on a démontré dans cet exercice.