Une technique pour calculer la limite d’une suite

On va voir comment calculer la limite d’une suite, et plus précisément d’une suite du type:

Un=

Il faut bien sûr imaginer que a1, b1, a2, b2 , tous ces nombres-là ont des valeurs. Donc tu auras bien sûr dans un exercice un =, par exemple, 2n – 1 sur 4n -5, ce genre de choses.

Ce genre de suite qui est définie de façon explicite, c’est à dire, Un directement en fonction de n, tu peux l’étudier assez facilement.

On appelle une fraction rationnelle, plus précisément, une fonction homographique, puisque tu as en haut un polynôme de degré un et dans le dénominateur aussi un polynôme de degré un
Voilà juste pour ce qui concerne comment on appelle les choses, d’abord une fonction rationnelle puisqu’il s’agit d’un polynôme sur un polynôme, puis homographique puisque toutes les deux fonctions ce sont des polynômes du degré un.

Donc dans cette vidéo ce que l’on va voir c’est comment aborder un calcul de limite.
Donc quand on te demande de calculer une limite d’une suite, comment faire?

Ensuite, comment faire quand tu est face à une forme indéterminée. Donc des formes indéterminées il y en a plusieurs. Je te les ai rappelées ici, les quatre principales.. Il y en a 7 au totale. Voilà: l’infini sur l’infini, zéro sur zéro, zéro fois l’infini, et infini moins infini… ce sont vraiment les formes indéterminées classiques.

Et, enfin, je vais te donner une tactique que l’on utilise très fréquemment en mathématiques pour calculer la limite d’une suite, parfois même d’une fonction car cette tactique marche aussi pour les fonctions.
Et bien, cette technique consiste à factoriser en haut et en bas dans notre fraction ici par le terme qui varie le plus.

Je vais t’expliquer dans cette vidéo ce qu’est le terme qui varie le plus. Et tu vas voir que cette technique vas te permettre de lever le cas d’indétermination, c’est à dire, de te débarrasser de cette forme indéterminée et de savoir si oui ou non, ta suite à une limite.

Là, on est d’accord, on est face à une fraction. Le but c’est toujours de calculer la limite de cette suite, on veut savoir à quoi ça tend quand la n tende vers plus infini. Quand on parle de suite on veut dire que n tend vers l’infini, on n’est pas obligé de le dire mais bien sûr il faut l’écrire.
Là, comment tu ferais, Jerôme? Julia?

C’est pas forcément évident la première fois qu’on tombe dessus. En fait, ce qu’il faut faire c’est de transformer ton quotient, ta fraction.

Déjà 2n -1, tu peux me dire vers quoi ça tend? Juste le numérateur quand n tend plus infini

Si je ne prends que 2n, si n tend vers infini…tu sais me dire?
Elève: Plus infini?
Ben, oui, voilà. C’est, entre gillemets, comme si tu multipliais l’infinit par deux, l’infini plus l’infini c’est toujours l’infini. Donc tu es d’accord que si on ajoute -1 à +infini on a toujours infini.

Ca il ne faut pas l’écrire sur la copie mais on peut se l’écrire ici pour bien comprendre.

Donc on voit bien que la limite de cette chose là, c’est plus infini.

Alors, sur votre copie vous mettrez… Il faut écrire tout pour bien montrer à votre professeur que vous comprenez ous limite de 2n quand n tend vers l’infini et c’est plus infini; il n’y a plus de démonstration à faire.
Et vous notez dessous limite de 2n moins 1 quand n tend vers l’infini, aussi, plus infini.

Ensuite, le dénominateur…

C’est la même chose; car; c’est quoi la limite de N-5?

Elève: Plus infini?

Exacte, c’est la même chose. Car n tend vers plus infini et si on enlève 5 de l’infini on a toujours l’infini. Ca change rien de lui enlever 5. Ok, là dessus on est d’accord.

Alors, maintenant on a un problème car tant le numérateur comme le dénominateur tendent vers l’infini. Et infini sur infini c’est une forme indéterminée ou cas indéterminé- une FI comme dit Jerôme-. Clairement quand on voit infini sur infini on ne peut pas savoir de prime abord si cette chose a une limite.

Attention, ça ne veut pas dire que la limite n’existe pas.

Donc là ce qu’il faut faire, il faut changer l’écriture -comme dit Jerôme- pour voir, pour étudier plus en détail si cette expression là tends vers quelque chose.

Le changement d’écriture que l’on va faire est un peu subtil. Il faut vraiment comprendre pour quoi on fait ça.
C’est qu’il faut faire c’est factoriser en haut par le terme qui varie le plus.
C’est vraiment une technique, une tactique que je vais répéter plusieurs fois dans l’année, factoriser par le terme qui varie le plus, car revient très souvent dans le calcul de limites.

Alors, c’est quoi le terme qui varie le plus au numérateur?

Elève: C’est le n?

Je dirais même le 2n! 2n varie et le -1 simplement ne varie pas du tout!

Ok, donc on va factoriser par 2n.
Et en bas on va factoriser par n, c’est à dire, le terme qui varie le plus entre n et 5.

On commence à savoir factoriser en Terminal S….ça sert énormément…

Alors, 2n, on ouvre la parenthèse,

Donc 2N (1 – 1 sur 2n)
Je penses que tu as eu une petite hésitation Julie
.

Julie: oui, après j »ai compris

Il faut vraiment comprendre, c’est comme si tu avais toujours ton -1 mais tu divises par 2n
Donc ok pour ça

Puis, pour le bas ça va être le même principe

n fois (1 – 5 sur n)

Qu’est qui se passe quand on a changé l’écriture là?

Donc les n vont se simplifier… Tu as vu, on n’a pas encore mis de limite.
On a juste transformé l’écriture de Un

On va obtenir, 2 fois 1 – 1 sur 2n entre 1 – 5 sur n

J’ai mis des parenthèses mais il n’y a pas vraiment besoin

Alors, à ton avis ça tend vers quoi? Juste cette chose là. La limite de 1 sur 2n?

Elève: plus infini?

Alors, 2n oui, mais tu as 1 sur 2n. 1 sur l’infini

Alors, c’est diviser 1 sur un numéro très grand. Ca va donner zéro! Par exemple, 1 sur 10000, ça fait 0,0001, 1 sur un milliard, c’est encore plus petit…alors, 1 sur plus infini ça fait zéro

Elève: Donc là, la limite ça serait zéro

Oui, mais attention, juste de ce terme là est 0

Dans votre copie il ne faut pas le noter comme ça. Il faut bien mettre limite quand n tend vers zéro..c’est toujours long à écrire les limites. Vous notez:
Limite de 1 sur 2n quand n tends vers l’infini égale à 1
Limite de 5 sur n quand n tends vers l’infini égale à 1

Alors, la limite de tout ce numérateur, limite de 1 – quelque chose qui tends vers zéro

(Elève hésitante)

Non, tu te compliques la vie, c’est juste zéro. Il faut vraiment imaginer, que cette chose en rouge que je viens d’entourer, que ça tend vers zéro

Ok, c’est bien.

Ensuite 5 sur n, ça tends vers zéro aussi
Donc 1 moins 5/n tend vers 1

Je vais un peu rapide, mais bien sûr il faudrait écrire toutes ces choses là…

Donc ensuite tout la fraction qui nous reste, tend vers 1 sur 1, c’est qui fait 1

En fait, tout ça, on arrive enfin à notre limite finale, la suite tend vers 2 fois 1, qui est 2

Et 2 est donc la limite de ta suite

Elève: donc à la fin on va écrire?

Donc à la fin de ton exercice tu mettrais; « la suite est convergente et elle converge vers 2 ».

Elève: on dit qu’elle est convergente quand elle a une limite?

Voilà, il faut être précis, c’est presque ça, elle est convergente quand elle a une limite fini, un numéro. Si elle tend vers l’infini elle a un limite mais elle n’est pas convergente. Il faut que la limite soit un nombre, je veux dire, un nombre réel.

Elève: donc si elle tend vers l’infini elle n’est pas convergente?

Voilà, elle est non convergente ou divergente, c’est la même chose.

Là, quand on a un peu l’habitude tu le vois directement.
Quand tu vois ça, une fraction, et plus précisément, une fraction rationnelle, c’est à dire un polynôme entre un autre polynôme. Et là on a de petits polynômes. Je dis de « petits » car ils sont de degré 1: ax + b…

Je vous rappelle qu’un polynôme c’est quelque chose du type ax2 + bx3…Enfin, les a ou les b ce ne sont pas importantes, c’est surtout les ax3, bX2 + cx + constante…Vous connaissez bien les polynômes que vous avez déjà étudié avec delta et tout ça.

Dans ces cas-là, quand on a une fraction rationnelle dont il s’agit de trouver la limite, il faut changer l’écriture comme a dit Jérôme, en factorisant par le terme qui varie le plus en haut et en bas. Ca nous a permis de nous débarrasser d’une forme indéterminée.

Quand on a une forme indéterminée, il ne faut pas s’arrêter là, il faut essayer de changer l’écriture de la chose.