Valeur moyenne d’une fonction

Comment calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle ?
Bonjour à toi et bienvenu sur cette nouvelle vidéo star en maths TV.
Alors dans cette vidéo nous allons résoudre un petit exercice sur un calcul de valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle donné
Donc c’est vraiment un calcul qui intervient dans le chapitre « calcul intégrale », ou quand tu vois les intégrales et les primitives.

Alors là il va s’agir de calculer la valeur moyenne de la fonction qui a x associe un sur un plus e de -x sur l’intervalle [0;1].
On ne parle jamais de calculer une valeur moyenne comme ça, sur rien du tout : calculer la valeur moyenne de f : ça ça ne veut rien dire.
Il faut calculer la valeur moyenne de f sur un intervalle donné. Donc ici c’est l’intervalle [0;1].

Alors, il y a une formule qui te permet de calculer justement la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a;b].
Je vais te rappeler cette formule générale, en noir ici.
La valeur moyenne de f sur l’intervalle [a;b], je vais la noter comme ça, c’est vraiment pour préciser tous les paramètres qui interviennent dans le calcul de cette valeur moyenne.
Et bien c’est égal à 1/b-a facteur de l’intégrale entre a et b de f(x)dx.
Voilà, alors pour te dire un petit peu, intuitivement ce que ça veut dire qu’une valeur moyenne, et bien je pense que tu sais déjà ce que c’est qu’une moyenne de notes.
Une moyenne de notes ça consiste à ajouter tes notes et à diviser par le nombre de notes. Et tu obtiens à la fin ta note moyenne.

Et bien là, c’est tout à fait analogue. Vu qu’ici tu ne peux pas faire une somme des f(x) et bien en fait tu fais une intégrale.
Une intégrale, ce symbole là on l’appelle somme aussi d’ailleurs. Ce n’est pas pour rien, ça s’appelle somme aussi, tu peux dire somme de a à b de f(x)dx.
Donc en fait c’est comme si tu ajoutais les f(x) pour x qui se balade entre a et b, c’est comme si ici tu sommais toutes tes notes.
Et à la fin tu divises par le nombre de notes donc b-a. 1 sur b-a ça consiste à diviser par b-a c’est la même chose.
Et b-a c’est ton nombre de notes.
Mais vu qu’ici on n’est pas vraiment dans le domaine discret, c’est-à-dire le domaine des notes où tu peux les compter comme ça en mettant ton doigt sur chaque note : un, deux, trois, quatre, cinq jusqu’à 10 notes par exemple.
Ici non, tu es dans le domaine du continu, c’est-à-dire que les f(x), tu es obligé de les compter avec une intégrale justement.
Et ensuite tu divises non pas par le nombre de f(x) parce que tu ne peux pas les compter sur l’intervalle tu vois les x il y en a une infinité entre a et b.
Donc en fait il faut diviser par la longueur en fait de ton intervalle.

C’est un petit peu comme ça que tu peux retenir cette formule de façon un petit peu intuitive.
Tu sommes les f(x), ça consiste à faire l’intégrale entre a et b des f(x)dx et tu divises à la fin par la longueur de ton intervalle, donc b-a.
C’est ça, la distance entre deux nombres réels a et b c’est b-a.
Donc là, c’est vraiment cette formule que nous allons appliquer.
Je t’ai donné une petite astuce pour essayer de la retenir, c’est tout à fait analogue à ta moyenne de notes.

Pour appliquer cette formule, il faut faire attention, là on te demande de calculer la valeur moyenne de cette fonction là.
Donc ça veut dire qu’il va y avoir l’intégrale non pas entre a et b mais entre 0 et 1 puisque ton a c’est 0 et ton b c’est 1.
IL va y avoir l’intégrale entre 0 et 1 de cette fonction.

Alors il faut bien déjà se dire que cette fonction c’est une fonction continue sur l’intervalle [0;1].
Parce que tu te souviens, on ne le dit jamais vraiment mais c’est quand même important à rappeler, une intégrale entre a et b de f(x)dx, ça existe seulement si la fonction est continue.
Si la fonction n’est pas continue, cette intégrale n’existe pas.
Donc il faut d’abord s’assurer, c’est toujours la première étape quand tu veux calculer une intégrale, pas une valeur moyenne mais vraiment une intégrale de façon générale…
Il faut toujours s’assurer, que la fonction f, donc on va la noter f cette petit fonction ici présente, est continue sur l’intervalle sur lequel tu veux calculer l’intégrale.
Donc ici on va bien préciser que f est continue sur [0;1].

Alors je le dis mais je ne l’ai pas du tout démontré.
En fait, ça se démontre assez rapidement, il suffit de dire que e de -x, c’est une fonction continue sur R, puisque c’est une fonction composée : la composée de la fonction exponentielle avec la fonction qui a x associe -x.
Et ces deux fonctions là sont continues. Donc e de -x est continue sur R, quand x se balade sur R.
1 + ça et bien ça reste continu sur R.
Et vu que ça, 1+ e de -x ça ne s’annule jamais, donc c’est parfait, il n’y a pas de valeur interdite pour cette fonction.
Là je ne le démontre pas mais ça pourrait se démontrer, en fait c’est tout simplement parce que e de -x est strictement supérieur à 0.
Donc si tu ajoutes un nombre strictement supérieur à 0 à 1, et bien 1 + ce nombre ce n’est jamais égal à 0, c’est toujours supérieur à 0. Donc pas de valeur interdite.
Donc en fait tu as une fonction continue en dessous. 1 sur une fonction continue c’est aussi une fonction continue et donc ici elle est continue sur R cette fonction f.
Mais nous, on veut juste qu’elle soit continue sur [0;1].

Donc là, pour justifier que cette fonction est continue sur [0;1], je te l’accorde je suis allé un petit peu vite mais j’ai donné tous les arguments principaux qu’il s’agirait de noter sur ta copie.
Alors ensuite, la deuxième étape c’est justement d’appliquer cette formule tout simplement.
Donc tu appliques cette formule : valeur moyenne de f sur l’intervalle [a;b], on va la noter V comme valeur.
« Calcul mathématique »
Et donc il va s’agir de calculer cette intégrale.

Alors comment va-t-on faire sachant que pour calculer une intégrale, tu te souviens que tu regardes la fonction en dessous du symbole intégrale, ce symbole-là et il faut te demander : cette fonction c’est la dérivée de quoi ?
En fait tu vas chercher, tu te souviens, une primitive de cette fonction et dès lors que tu auras une primitive de cette fonction, et bien tu pourras procéder au calcul.
Tu te souviens tu mettras la primitive entre crochet, et puis 0;1 à droite, entre 0 et 1 à droite.

D’abord il faut trouver donc une primitive de cette fonction.
Alors là en la regardant ce n’est pas du tout évident parce que ça on ne sait pas du tout de quoi c’est la dérivée.
Donc la question que je te recommande de te poser quand tu veux calculer une intégrale et plus particulièrement quand tu souhaites trouver une primitive :
La fonction en dessous du symbole c’est la dérivée de quoi ? Et le quoi c’est une primitive et c’est ce que tu cherches.

Donc là je répète on ne voit pas du tout de quoi cette fonction pourrait être la dérivée donc je t’invite à la transformer un petit peu.
Il ne faut jamais oublier que e de -x c’est 1 sur e de x. Puisque e de x c’est un petit peu comme un nombre à la puissance x, comme le nombre e à la puissance x.
Donc la fonction exponentielle, ça agit un petit peu comme un nombre à la puissance quelque chose.
Donc ce que tu peux faire ici c’est tout simplement considérer que e de -x c’est 1 sur e de x. Donc regarde ce qui va se passer :
« Calcul mathématique »
On met tout au même dénominateur :
« Calcul mathématique »

Alors là maintenant, peut-être que ça te parle mais peut-être pas…
Il s’agit d’avoir une bonne connaissance de ton tableau des primitives et notamment des primitives des fonctions composées.
EN fait, quand tu vois un quotient, généralement ce qui se passe pour trouver une primitive d’un quotient, c’est qu’au numérateur généralement pour les fonctions sur lesquelles tu vas tomber, au numérateur tu as la dérivée du dénominateur.
Et en fait qu’est-ce que c’est qu’une primitive d’une fonction du type U’/U ?
Et bien une primitive de ce genre de fonction-là, je mets une flèche pour dire que là je vais noter la primitive, et bien c’est ln de valeur absolue de U.
Alors je sais que c’est un peu compliqué.
Ou généralement c’est ln de u, alors il faut que U soit strictement positive pour que ce soit ln de U sans les valeurs absolues.

Donc ici c’est exactement ce que nous remarquons parce que e de x c’est bel et bien la dérivée de e de x + 1.
Imagine tu veux dériver le dénominateur, e de x plus 1, c’est ta fonction U en fait.
Donc imaginons que tu veuilles dériver le dénominateur, et bien le dénominateur est une somme de 2 fonctions donc la dérivée sera la somme des 2 dérivées.
Donc dérivée de e de x : c’est e de x. C’est ça un petit peu la magie de la fonction exponentielle. Et la dérivée de 1 c’est 0.
Donc tu trouves comme dérivée, U'(x)=e de x
Donc tu as bel et bien ceci, tu vois ?

Généralement dans les exercices que tu auras et peut-être aussi au BAC, quand il y a un quotient, duquel tu devras trouver la primitive, et bien généralement ce quotient sera de cette forme-là, c’est-à-dire U’ sur U.
Et là tu connais une primitive d’après ton tableau des primitives, c’est une primitive un petit peu complexe je te l’accorde mais je te dis qu’elle revient souvent, c’est ln de U.
Donc ça y est ici tu as une primitive c’est ln de valeur absolue de e de x + 1.
Alors pourquoi je te disais qu’on pouvais enlever la valeur absolue, et bien tout simplement parce que imaginons que ta fonction U soit tout le temps strictement positive, et bien si U supérieur à 0, et bien valeur absolue de U = U
Et si U est inferieur à 0, valeur absolue de U = -U. Il faut se rappeler, c’est la définition de la valeur absolue.
La valeur absolue de 2, 2 c’est un nombre positif, et bien c’est 2. La valeur absolue de -3, -3 c’est un nombre négatif, c’est – (-3) donc c’est 3. Ça c’est la petite gymnastique concernant la valeur absolue.

Voilà donc pourquoi on peut enlever les valeurs absolues ici, c’est ce que je m’apprête à faire, parce que e de x + 1 c’est une fonction positive clairement parce que la fonction exponentielle est strictement positive sur R et donc sur [0;1] donc tu as beau ajouter 1, ça restera positif.
Donc voilà, tout ça on peut dire que c’est :
« Calcul mathématique »
Et tu te souviens que lna-lnb, ça c’est une petite formule qu’il s’agit de retenir, c’est ln a/b.
Donc ici tu obtiens:
« Calcul mathématique »
Donc ça c’est vraiment la valeur moyenne de ta fonction sur l’intervalle [0;1].

Donc j’espère que tu as compris comment on procède pour calculer une valeur moyenne, donc en fait il s’agit de connaitre la formule en noir, ici présente, et ensuite de procéder à ce calcul d’intégrale entre a et b.
Il ne faut pas oublier le coefficient 1/b-a devant.
Il faut bien appliquer la formule, il faut bien t’en souvenir, c’est comme si tu divisais par le nombre de notes ce coefficient, tu te souviens.
Et ensuite, il s’agit vraiment de calculer cette intégrale, donc de rechercher une primitive de la fonction f.
Voilà donc j’espère que tu as bien compris ce petit calcul.