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Suite arithmétique, suite géométrique (1/4)

Bien placer ton argent grâce à ta connaissance des suites numériques.

Bonjour et bienvenue sur Star en Maths TV. Alors aujourd’hui l’exercice est un petit peu particulier parce qu’il m’a été demandé par Laura qui avait un besoin spécifique sur les suites numériques. Elle voulait en savoir plus sur les suites numériques et notamment les suites arithmétiques et géométriques. Elle m’a donné cet exercice. Ici, donc l’énoncé c’est le suivant :

Mr Greedy désire placer son capital K=5000€ pour le faire fructifier.

1. Il trouve un placement à prime constante : chaque année, son capital est augmenté de 500€. (Retiens bien cette phrase car c’est la clé de ce premier exercice). On note Cn le capital acquis après n années.

1. Quel est le capital de M Greedy après 6 ans de placement ?
2. Combien d’années faut-il pour doubler le capital ? Cette durée dépend t’elle de K ?

1. Il trouve un autre placement : une formule à taux d’intérêt fixe=4% par an. On note Kn le capital acquis après n années de placement avec cette formule.

Etudier (Kn) en reprenant les questions précédentes.

Alors comment résoudre cette première question ? (Relecture de la question)

<Formule mathématique>

Alors la question « a » nous demande le capital de Mr Greedy après 6 années de placement. Déjà, on va pouvoir calculer ce capital après 1 année. Pourquoi ? Parce qu’on nous dit que chaque année le capital augmentait de 500€. Qu’est ce que ça veut dire ? Eh bien ça veut dire que tu prends une année, et bien le capital de Mr Greedy cette année là, il est égal au capital de l’année précédente mais plus 500€, augmenté des 500€. Donc ça veut dire que le capital de l’année 1, à l’année 1, il est égal au capital de l’année 0 plus 500€. Il y a donc dans l’énoncé une phrase clé que je te recommande de surligner qui est ceci : « Chaque année son capital est augmenté de 500€ ».

Donc en fait si tu calcules :

<Formule mathématique>

Voilà, donc pour répondre à ma question « a » et bien quel est le capital de Mr Greedy après 6 ans de placement ? Là on l’a calculé après 3 années de placement donc on pourrait continuer à l’oral très rapidement. Après l’année 4 c’est C3 +500 donc ça fait 7000. A l’année 5 ça fait encore plus 500, ça fait 7500 et à l’année 6 ça fait 7500 plus 500, ça fait 8000€. Donc là on a répondu oralement à la question. Sur ta copie tu pourrais dire et détailler chacune des étapes donc C0, C1, C2. Calculer chacun des termes jusqu’à 6 et dire que tu trouves 8000€ après 6 ans de placement. Mais en fait on peut faire plus astucieux et utiliser une formule de cours parce qu’on identifie que cette suite Cn c’est en fait une suite arithmétique. En fait en première tu as vu 2 types de suites qui sont 1 les suites arithmétiques. Qu’est ce que c’est qu’une suite arithmétique ? En fait c’est une suite de nombres et chaque nombre pour l’obtenir tu auras ajouté une constante réelle au nombre précèdent donc c’est une opération plus ou moins. Tu as aussi vu les suites géométriques en première. Les suites géométriques ça correspond, plutôt qu’à un plus ou un moins, ça correspond à un fois ou un divisé. Donc chaque terme s’exprime dans une suite géométrique par rapport à son terme devant N par une multiplication par un nombre réel constant. Alors en gros, plutôt que de dire tout ça oralement ici on a une suite Cn qui est définie de la façon plus 1.

<Formule mathématique>

Donc voilà la relation par récurrence qui définie Cn. Dans ton cours tu as une formule intéressante à propos des suites comme ceci qui sont arithmétiques. Quand tu as une suite qui se définie par récurrence comme de cette façon ça veut dire qu’elle est arithmétique parce que justement comme je te le disais à l’oral tout à l’heure le terme devant N+1 s’exprime en fonction du terme devant N par l’addition d’un nombre qui est constant réel. Un réel constant et qui ne dépend pas de N ! C’est très important.

<Formule mathématique>

. Dans ton cours tu as une autre formule intéressante qui permet de donner non pas la définition par récurrence d’une suite arithmétique mais la définition explicite d’une suite arithmétique. Explicite, ça veut dire directement en fonction de N.

<Formule mathématique>

Voilà la définition explicite, c’est-à-dire directement en fonction de N de notre suite Cn. Donc chaque terme ici, on a son expression en fonction de N et c’est super pour la question A comme je te le disais parce que après 6 années de placements tu peux calculer directement plutôt que de faire pas à pas comme on l’a fait à l’oral tout à l’heure. Et bien on avait calculé tu te souviens, C0, C1, C2, C3 et puis après à l’oral, C4, C5 et C6. C’est fastidieux plutôt que de faire ça il vaut mieux connaitre la formule générale et c’est ça et si tu l’appliques avec N=6, regardes :

<Formule mathématique>

Voilà le résultat de la question « a » et c’est ce qu’on avait trouvé tout à l’heure à l’oral et cette formule générale elle a l’avantage de donner le résultat après par exemple 25 années de placements donc c’est ça qui est quand même pratique avec la formule de cours donnée ici qu’il faut retenir. Donc souvent CK dis toi que souvent c’est C0 soit C1. C’est souvent le premier terme qu’on utilise. Donc ici on a utilisé 5000 qui est C0, donc K=0.

Suite arithmétique, suite géométrique (2/4)

Donc attaquons nous maintenant à la question « b ».

<Formule mathématique>

Combien d’années il faut pour doubler le capital ?

Doubler son capital, ça veut dire quoi ? Et bien ça veut dire que Mr Greedy il a mis 5000€ au tout début et il aimerait savoir après combien d’années il obtiendra 2 fois ces 5000€, après combien d’années il aura doublé son capital. Donc après combien d’années en gros il va obtenir 10000€. Donc c’est à ça qu’il faut répondre comme question.

<Formule mathématique>

Il va falloir attendre 10 ans à Mr Greedy pour doubler son capital de 5000€. Ensuite il y a une question un petit peu plus embêtante peut être c’est cette durée pour doubler le capital, dépend t’elle de K ? Pour répondre à cette question il faut réfléchir un petit peu et se dire Mr Greedy au début il a mis un capital de K€. Nous on sait que chaque année après l’année 1 il va avoir K+500€, à la fin de l’année 2 il va avoir K+ (2×500^€) à la fin de l’année 3 il va avoir K+ (3×500€) etc…

Donc plutôt que de reprendre cette formule qui était adaptée à l’exemple, c’est-à-dire que Mr Greedy il avait placé non pas K mais plutôt 5000€ effectivement. Il faut reprendre la formule ici :

<Formule mathématique>

Ça c’est le cas général de ça qui est en fait le cas ou Mr Greedy a placé 5000€ au début. Ça c’est un exemple en fait mais par contre le placement reste le même c’est toujours une suite arithmétique de raison 500 mais qui est de premier terme non plus 5000 mais K. Donc ici Cn vaut 2K.

<Formule mathématique>

La durée pour doubler le capital de départ dépend bien sûr de ce capital de départ avec ce placement là. C’est-à-dire que si on place tout simplement 5000€ donc K=5000 et bien il va falloir attendre 10 ans c’est le calcul qu’on avait fait mais si Mr Greedy il avait placé par exemple 10000€ au départ et bien combien de temps, combien d’années il lui aurait fallu pour obtenir non pas 10000 mais le double, c’est-à-dire 20000 et bien on l’a cette formule qui permet de calculer ça c’est N année=K donc 10000€ ce qu’il avait placé au début 10000500 =20. Donc ça veut dire qu’il faut qu’il attende 20 ans pour doubler son capital s’il a placé 10000 € au début et obtenir à la fin bien sûr, 20000€. Voilà donc pour la question 1.

Suite arithmétique, suite géométrique (3/4)

Donc une technique aussi quand tu abordes un exercice, n’hésite pas à surligner les phrases extrêmement importantes. On aurait pu aussi souligner d’autres choses dans cet exercice notamment les notations. K=5000€ c’est-à-dire la mise de départ et aussi Cn, donc ce capital acquis après N années. Donc maintenant attaquons nous à la 2eme question. En fait la 2eme question c’est que ce Mr Greedy il a cherché un petit peu il a fait le tour de ses banques et il a trouvé un autre type de placement. Ce placement c’est une formule qui n’est plus du tout à prime constante mais qui est à taux d’intérêt fixe à 4% par an. Donc au lieu de noter Cn comme avant, le capital acquis après N année on note ici Kn. Donc je surligne ceci. Je peux aussi surligner la phrase très importante suivante c’est que cette formule c’est une formule qui est à taux d’intérêt fixe, 4% par an, voilà combien il vaut ce taux. Il faut étudier cette suite Kn, donc le capital, l’évolution du capital de Mr Greedy à partir des questions « a » et « b ».

<Formule mathématique>

Ce qui est ajouté au capital de départ qu’on a mis et bien c’est 4% de ce capital de départ et à l’année suivante c’est 4% du capital de l’année précédente qu’on ajoute pour obtenir le nouveau capital. Donc allons-y tranquillement. A la fin de la première année qu’est ce qu’on obtient comme capital, qu’est ce que Mr Greedy obtient ?

<Formule mathématique>

Un taux d’intérêt fixe de 4% ça veut dire que la somme à l’année N+1 et bien ici il est de 4% ce taux. Et bien cette somme elle sera de 4% en plus par rapport à la somme de l’année précédente. Donc ici c’est exactement ce qu’on applique. Le capital acquis après 2 années par Mr Greedy et bien c’est le capital acquis à la fin de la première année plus 4% de ce capital acquis à la fin de la première année. Donc en gros ce que fait la banque si elle lui permet d’avoir cette formule à taux d’intérêt fixe de 4% et bien la banque elle prend ce que Mr Greedy a sur son compte, elle calcule 4% de ça puis elle lui met 4% en plus à la fin de chaque année. Donc c’est ça que ça veut dire. Et si tu regardes bien à la fin de l’année 3 :

<Formule mathématique>

Et donc tu as compris la formule regarde un petit peu. Ici par exemple, si on prend cette formule on peut factoriser par K0. Ici on peut aussi factoriser par K1. Ici on peut factoriser par K2.

<Formule mathématique>

Ce que je tenais à te faire remarquer c’est qu’on pouvait factoriser à chaque fois par le capital acquis à l’année précédente donc en fait le Kn ici c’est K0.

<Formule mathématique>

En fait pour obtenir le capital à l’année n+1 tu multiplies le capital de l’année n par 2625 pour obtenir le nouveau capital, pour obtenir le capital à l’année n+1. Tu vois c’est tout simplement ça une opération sur une suite géométrique. Donc finalement j’ai fait un petit peu de place et la suite géométrique Kn on a dit qu’elle s’exprimait de la façon suivante :

<Formule mathématique>

Il y a une formule importante de ton cours au sujet des suites géométriques c’est que tu peux avoir leur définition explicite comme on l’a fait tout à l’heure pour la suite arithmétique tu peux obtenir Kn en fonction immédiatement de N plutôt que d’avoir une définition par récurrence comme ici.

<Formule mathématique>

Donc voici la formule du capital K acquis après n années de placement avec ce placement là et donc on peut répondre à la question « a » puisqu’on peut remplacer dans cette formule très facilement n par 6 plutôt que de calculer pas à pas K0, K1, K2, K3 etc…et bien là on remplace immédiatement cette formule n par 6 un petit peu comme tout à l’heure ce qu’on répondait à la première question et donc :

<Formule mathématique>

Tu comprends que tout vient de la formule qu’on vient de déduire pour une suite géométrique de raison 2625 et de premier terme 5000.

Suite arithmétique, suite géométrique (4/4)

Donc ça va être simple aussi de répondre à la question « b ». Souviens-toi, combien d’année faut il pour doubler le capital ? Nous allons reprendre, la formule : celle-ci sachant que le capital de départ dans un premier temps c’est le capital qu’a vraiment mis Mr Greedy dans l’exercice, à savoir 5000€ et après pour finir la question « b » on prendra un capital quelconque noté K. Il faut en fait qu’on ait Kn=10000. On cherche tout simplement le nombre d’années n que Mr Greedy doit attendre pour que son capital devienne le double de son capital de départ donc 10000€.

<Formule mathématique>

Là il y a une opération un petit peu particulière en maths à faire c’est qu’il faut en fait passer tout ça en logarithme. J’espère que tu connais ce calcul. Il faut en fait prendre le logarithme népérien à gauche et le logarithme népérien à droite et on va obtenir :

<Formule mathématique>

Si Mr Greedy a placé 5000€ initialement avec cette formule là à taux d’intérêt fixe 4% par an il faut qu’il attende plus de 17 ans en fait presque 18 ans pour que son capital de 5000€ devienne 10000€ donc c’est pas malin donc, puisque tu te souviens que tout à l’heure avec ce placement à prime constante 500€ par an en plus et bien il suffisait d’attendre 10 ans pour doubler son capital de 5000€ donc pour obtenir 10000 alors que là il lui faut attendre quand même presque 18 ans. Maintenant le cas général, on me demande si cette durée donc ce nombre d’années n dépend de K, donc dépend en fait de la somme initiale. Là on l’a fait pour 5000€ mais est ce que ça dépend de K ? Et bien en fait il faut reprendre cette formule là qui est en fait que Kn=10000 mais en remplaçant 10000 par 2k et le k0 qui est en fait le placement initial par K.

<Formule mathématique>

Ce qui se passe ici c’est qu’en fait les K s’annulent à gauche et à droite.

<Formule mathématique>

Ce qu’il y a d’intéressant avec ce 2eme placement c’est qu’en fait pour faire fructifier son capital et en fait le doubler et bien il faut toujours attendre 17,7 années environ. C’est-à-dire que tu peux très bien placer 100000€ plutôt que 5000€ et dans 17,7 années, c’est fixe ça ne dépend pas de ton capital de départ tu auras 200000€. Donc de ce point de vue là c’est mieux que le premier placement. Tu as compris un petit peu l’utilisation dans un premier temps d’une suite arithmétique pour étudier ce premier placement et ensuite d’une suite géométrique dans un 2eme temps pour étudier le placement ici d’intérêts fixes 4% par an. Voilà, donc j’espère que tu as compris quand il fallait utiliser une suite arithmétique et ensuite quand il fallait utiliser une suite géométrique. Je te rappelle qu’il existe pleins d’autres types de suites et c’est vrai qu’en première vous voyez ces 2 suites là principalement, suite arithmétiques et géométriques. Pourquoi ? Parce qu’en fait c’est des suites très simples. Suite arithmétique ça correspond à quoi ? Ça correspond en fait à chaque pas tu ajoutes ou tu retranches, c’est une opération de plus, un nombre constant qui ne dépend pas de n. donc ici dans la première question et bien chaque pas c’est-à-dire chaque année, il suffisait d’ajouter 500€ au capital de M Greedy donc tu vois qu’à la main ça se fait très facilement. Tu passes de 5000 à 5500 à 6000 à 6500 etc…

Alors qu’à la question 2, suite géométrique donc plutôt que d’ajouter un nombre tu multiplies à chaque pas le terme précédent par un nombre constant réel pour obtenir le terme suivant. Donc Kn+1= un nombre constant. Ici c’était 26/25 fois le nombre précédent Kn. Donc peut être que la 2eme question pour identifier la suite géométrique qui se cachait derrière cette 2eme question c’était peut être un petit peu moins évident. En fait ce qui fallait faire c’est écrire le fonctionnement de cette formule à taux d’intérêt fixe 4% par an pour les premiers termes donc tu écrivais K0 donc K0 c’était le capital de départ d’accord. Tu écrivais K1 ensuite. Et bien K1 c’était quoi ? C’était le capital précédent plus 4% de ce capital précédent. Et donc là ou tu retrouvais une suite géométrique c’était en factorisant finalement dans K1 qui est égal à K0+4% de 5000€ et bien dans cette expression de K1 c’est-à-dire le capital acquis après une année tu pouvais factoriser par 5000€. Et vu que tu pouvais factoriser par 5000€ ça veut dire qu’il te reste un nombre constant qui était un en fait plus le 4% et ce un plus 4% correspond à la raison de ta suite géométrique donc là c’était peut être un petit plus difficile de trouver la raison de cette suite géométrique et tout simplement avant cela de bien identifier que c’était une suite géométrique.

Je t’ai rappelé aussi 2 formules importantes sur les suites arithmétiques et géométriques respectivement ces 2 formules c’est en fait celles qui te donnent l’expression du terme devant n d’une suite arithmétique dans un premier temps puis d’une suite géométrique dans un 2eme temps en fonction de n ce qu’on appelle les définitions explicites et non pas par récurrence des suites.

<Formule mathématique>

Moi ce que je te recommande une fois que tu les as adapté ces formules c’est-à-dire que tu as remplacé C0 par le premier terme et R par la raison de la suite arithmétique ici et bien ce que tu peux faire c’est essayer de la vérifier en prenant n=1, n=2, n=3 parce que à la main tu auras calculé combien valent C1, C2, C3. Tu peux le faire assez facilement. Donc tu peux vérifier cette formule voir si tu l’as bien adaptée, bien écrite déjà avec des petits indices n=1, n=2, n=3 et donc pareil pour une suite géométrique. Moi je te conseille vraiment de vérifier la définition explicite que tu auras écrite.